4. Bloch球上的旋转操作

在Bloch球图像中，一个量子比特的纯态对应球面上的一点，而任何幺正演化都对应球面上的一个旋转。本节要解决的核心问题是：给定一个旋转轴 n̂（单位向量）和一个旋转角 θ，如何写出对应的2×2幺正矩阵，并预测Bloch矢量在球面上画出什么样的轨迹。掌握这一点，才能把“门操作”与“轨迹形状”真正对应起来。

一、约定与基本关系

先固定参照约定，全文保持一致：Bloch矢量定义为 r = (⟨σx⟩, ⟨σy⟩, ⟨σz⟩)，旋转角 θ 采用右手定则——拇指指向旋转轴 n̂，四指弯曲方向为旋转正方向。绕 n̂ 旋转 θ 的幺正算符写作：

U(n̂, θ) = exp(-i θ/2 · n̂·σ)
         = cos(θ/2) I - i sin(θ/2) (n̂x σx + n̂y σy + n̂z σz)

这里出现 θ/2 而不是 θ，是自旋1/2系统的本质特征：态矢量旋转 θ，Bloch矢量旋转 θ，但算符参数是半角。这一点直接决定了后面“旋转角对轨迹形状的影响”。

二、泡利矩阵指数化：从形式到可计算矩阵

指数化之所以能化成余弦加正弦，关键在于 (n̂·σ)² = I。对任意单位向量 n̂，矩阵 n̂·σ 是厄米且平方为单位的，因此指数展开的偶次项与奇次项分别求和，得到 cos 与 sin 的闭式。把三个泡利矩阵代入，可直接写出显式矩阵：

U = [ cos(θ/2) - i nz sin(θ/2)   (-i nx + ny) sin(θ/2) ]
    [ (-i nx - ny) sin(θ/2)       cos(θ/2) + i nz sin(θ/2) ]

以绕 z 轴旋转为例，n̂ = (0,0,1)，矩阵退化为 diag(e^{-iθ/2}, e^{iθ/2})，这正是 Rz(θ) 门。绕 x 轴时 n̂ = (1,0,0)，得到 [[cos, -i sin],[-i sin, cos]]，即 Rx(θ)。可见常见门只是通式的特例，通式才是模拟器里真正需要实现的对象。

三、Bloch矢量的旋转公式与轨迹形状

在Bloch球上，态矢量按经典三维旋转变换：r' = R(n̂, θ) r，其中 R 是三维空间绕 n̂ 转 θ 的旋转矩阵（罗德里格斯公式）。这是理解轨迹形状最直接的工具：

r' = r cosθ + (n̂ × r) sinθ + n̂ (n̂·r)(1 - cosθ)

由此可以立刻读出轨迹的几何性质。把 r 分解为平行于 n̂ 的分量 r∥ 与垂直分量 r⊥：旋转只改变 r⊥ 的方向，不改变其长度，也不改变 r∥。因此：

• 轨迹是一个圆，圆心在轴上、半径为 |r⊥|，圆所在平面垂直于 n̂；
• 旋转角 θ 只决定沿这个圆走过多少弧长，不改变圆的半径与所在平面；
• 旋转轴 n̂ 决定圆的朝向与圆心位置；当 n̂ 与 r 平行时 r⊥ = 0，轨迹退化为一个不动点。

下面这张图把“轴—角—轨迹”三者的关系画在一起：左侧是参数输入，中间是泡利指数化得到的旋转，右侧是Bloch球面上对应的圆弧轨迹，并对比了同一初态在不同轴、不同角下的三种典型结果。

四、旋转角与旋转轴如何改变轨迹

旋转角 θ 的作用是“走多远”。固定轴与初态，θ 从 0 增大到 2π，态点沿同一个圆走一整圈回到原处；θ = π 时到达圆的对径点，对应 Bloch矢量反向（正交态）。注意 θ = 2π 时算符 U = -I，态矢量整体变号，但Bloch矢量完全复原——这正是全局相位不可观测的体现。若用 θ 作为横轴、以某个观测量（如 ⟨σz⟩）为纵轴，会得到周期为 2π 的余弦型曲线，这是实验上拟合旋转角最常用的手段。

旋转轴 n̂ 的作用是“定平面”。改变 n̂ 会改变轨迹圆所在的平面与圆心。若 n̂ 垂直于初态 r，圆心在球心，轨迹是大圆（测地线），两点间路径最短；若 n̂ 与 r 有夹角，圆心偏离球心，轨迹是小圆，半径 |r⊥| = |r| sinφ（φ 为 r 与 n̂ 的夹角）。当 n̂ 与 r 平行时半径为零，态点不动——这解释了为什么“绕自身Bloch方向旋转”不产生任何可观测变化。

五、一个可复现的数值示例

设初态 r = (1, 0, 0)，轴 n̂ = (0, 0, 1)，θ = 90°。按公式：r∥ = 0，r⊥ = (1,0,0)，|r⊥| = 1，故轨迹是赤道大圆。代入 r' = r cosθ + (n̂×r) sinθ + n̂(n̂·r)(1-cosθ)，其中 n̂×r = (0,1,0)，得 r' = (0,1,0)。这与图中终点一致。若把轴换成 n̂ = (1,0,0)，则 r∥ = r，r⊥ = 0，态点不动，任何 θ 都不改变结果。若把 θ 改为 180°，绕 z 轴得到 r' = (-1,0,0)，即正交态。

在模拟器中实现时，建议按以下顺序组织代码：归一化轴 → 计算半角余弦正弦 → 组装2×2矩阵 → 作用到态矢量 → 由态矢量计算Bloch分量 → 记录每个时间步的 r 用于绘图。轨迹采样时，把 θ 离散成若干步（例如每步 5°），每步都重新由当前态计算 r，而不是只在终点计算一次，这样才能得到连续的球面曲线。判断实现是否正确，可以检查三个不变量：轨迹上每点到轴的距离恒定、|r| 恒定（纯态为1）、以及 θ 累计 2π 后 r 回到初值。

把上述关系记牢，后续讨论复合门、脉冲序列与退相干时，就能直接把“矩阵乘法”翻译成“球面上的连续旋转”，从而用几何直觉预判轨迹形状，再用数值结果验证。