2. 量子比特与Bloch球基础

在上一节中我们已经知道，单量子比特的纯态可以写成 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 为复数且满足 |α|² + |β|² = 1。这个式子虽然严格，却很难让人“看见”量子态在做什么。Bloch 球的价值就在于：它把二维复希尔伯特空间中的态，压缩成一个三维实空间中的点或向量，使叠加、相位、退相干这些抽象概念获得直观的几何对应。本节要建立的正是这条映射链——态矢量 → 密度矩阵 → 极化矢量 → Bloch 球坐标，并说明纯态与混合态在球上的位置差异。

一、从态矢量到密度矩阵

纯态用态矢量描述，但真实量子比特往往处于统计混合，必须改用密度矩阵 ρ。对纯态 |ψ⟩，密度矩阵定义为 ρ = |ψ⟩⟨ψ|；对以概率 p_i 处于 |ψ_i⟩ 的混合态，则 ρ = Σ p_i|ψ_i⟩⟨ψ_i|。密度矩阵是更一般的描述：纯态只是它的一个特例。判断纯态与混合态的标准量是纯度 Tr(ρ²)：纯态 Tr(ρ²) = 1，混合态 Tr(ρ²) < 1。

把单比特密度矩阵写成最一般的形式，它总可以展开为

ρ = (I + r·σ) / 2
  = 1/2 · [ 1 + z    x - iy ]
          [ x + iy   1 - z  ]

其中 I 是 2×2 单位矩阵，σ = (σ_x, σ_y, σ_z) 是泡利矩阵，r = (x, y, z) 是一个三维实向量。这个 r 就是极化矢量（也称 Bloch 矢量）。由于 ρ 必须半正定且迹为 1，r 被约束在单位球内：|r| ≤ 1。这一步是整个映射的核心——任意单比特量子态与单位球内的一个实向量一一对应。

二、极化矢量与球坐标的对应

极化矢量与态参数的关系可以直接算出。对纯态 |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^iφsin(θ/2)|1⟩，其 Bloch 向量为

x = sinθ·cosφ
y = sinθ·sinφ
z = cosθ

这里 θ ∈ [0, π] 是极角，φ ∈ [0, 2π) 是方位角。注意 θ 与态矢量中出现的 θ/2 相差一半，这是自旋-1/2 系统的固有特征：态矢量转 2π 才回到自身，而 Bloch 球上的点只需转 2π 就完成一圈，二者周期不同。约定上，|0⟩ 位于北极 (z = +1)，|1⟩ 位于南极 (z = −1)，赤道上的点对应等权叠加 (|0⟩ + e^iφ|1⟩)/√2。全局相位不影响 ρ，因此也不影响 r，这正是密度矩阵描述比态矢量“少一个相位自由度”的体现。

反过来，给定 r 也能还原密度矩阵：ρ = (I + xσ_x + yσ_y + zσ_z)/2。测量期望值同样有简洁形式：⟨σ_i⟩ = Tr(ρσ_i) = r_i。也就是说，Bloch 向量的三个分量恰好就是三个方向泡利算符的期望值，这为实验上通过多次测量重构量子态提供了直接依据。

三、纯态与混合态的几何判据

有了上面的映射，纯态与混合态的区分就变成一条几何判据：纯态位于球面，混合态位于球内。球心 r = 0 对应 ρ = I/2，即完全无偏的最大混合态，此时对任何方向的测量都得到 50% 的 |0⟩ 与 50% 的 |1⟩，没有任何可提取的量子信息。介于球心与球面之间的点，则代表部分退相干的态。

这个判据在模拟中非常实用。假设我们让一个初始处于 |0⟩（r = (0,0,1)）的量子比特经历一个退相干过程，其 Bloch 向量会沿 z 轴收缩，例如 r(t) = (0, 0, e^−t/T₂)。当 t 从 0 增大时，点从北极沿轴滑向球心，|r| 从 1 单调降到 0，纯度 Tr(ρ²) = (1 + |r|²)/2 也同步下降。反过来，若只发生绕 z 轴的相位旋转，则 r 在赤道平面内绕圈，|r| 保持不变，点始终贴在球面上——这正是“退相干”与“相干演化”在几何上的本质区别：前者让点向球心塌缩，后者让点在球面上转动。

四、一个可手算的示例

取态 |ψ⟩ = (|0⟩ + i|1⟩)/√2。先算密度矩阵：

ρ = 1/2 · [ 1   -i ]
          [ i    1 ]

对照一般形式，可得 x = 0，y = 1，z = 0，即 r = (0, 1, 0)，位于赤道正前方。验证：⟨σ_y⟩ = Tr(ρσ_y) = 1，与 r_y = 1 一致；纯度 Tr(ρ²) = 1，确为纯态。若再取一个混合态 ρ = 0.75|0⟩⟨0| + 0.25|1⟩⟨1|，则 r = (0, 0, 0.5)，|r| = 0.5 < 1，点位于 z 轴正半轴中点，纯度 Tr(ρ²) = 0.625，明显小于 1。这两个例子说明：只要读出 r 的三个分量，态的性质（纯/混、相位、布居）就一目了然。

五、实现时的注意事项

实际写代码做这步转换时，有几个细节容易出错。第一，泡利矩阵的次序要与向量分量对齐，常见约定是 σ_x、σ_y、σ_z 分别对应 r 的 x、y、z 分量，若矩阵写反，轨迹会整体镜像。第二，θ 与态矢量中的 θ/2 不要混用，从态矢量取参数时先乘 2 再代入球坐标公式。第三，数值上要检查 |r| 是否略大于 1（浮点误差所致），必要时做归一化截断，否则画点会跑到球外。第四，全局相位在密度矩阵中已被消去，因此从 ρ 反推 r 时无需也无法恢复原始相位，这一点在比对模拟结果与理论态时要心里有数。

把以上内容串起来：态矢量给出最原始的复系数描述，密度矩阵把它推广到混合情形，极化矢量把密度矩阵压缩成三个实数，Bloch 球再把这三个实数变成空间中的点。纯态在球面、混合态在球内、最大混合态在球心——这条几何直觉将贯穿后续所有关于旋转、测量与退相干的讨论。