2. 一维定态薛定谔方程与隧穿问题数学表述

要定量模拟量子隧穿，第一步不是写代码，而是把物理问题翻译成一组边界条件明确的数学方程。本节围绕一维定态薛定谔方程，梳理波函数、边界条件、概率流密度与透射系数这四个核心概念，并说明它们如何共同构成隧穿问题的完整数学表述。后续所有数值方法（传递矩阵、有限差分、打靶法）都只是求解这组方程的不同手段。

一、定态方程与分段势场

一维定态薛定谔方程为

-ħ²/(2m) · d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ

其中 ψ(x) 为定态波函数，E 为粒子能量，V(x) 为势能。隧穿问题的典型设定是分段常势：以方势垒为例，取入射区 x<0 与出射区 x>a 处 V=0，势垒区 0≤x≤a 处 V=V₀，且 E<V₀。此时方程在每一段内都是常系数线性方程，通解可直接写出：

• 入射区（x<0）：ψ₁ = A·e^{ikx} + B·e^{-ikx}，k = √(2mE)/ħ，A 为入射振幅，B 为反射振幅；
• 势垒区（0≤x≤a）：ψ₂ = C·e^{κx} + D·e^{-κx}，κ = √(2m(V₀−E))/ħ，波函数呈指数衰减而非振荡；
• 出射区（x>a）：ψ₃ = F·e^{ikx}，只保留向右传播项，因为该区没有来自右侧的入射波。

这里必须明确方向约定：全文取 x 轴向右为正，入射波沿 +x 方向传播，因此 e^{ikx} 表示右行波、e^{-ikx} 表示左行波。这一约定在后续概率流密度与透射系数的符号中会反复用到，切换约定时必须同步修改。

二、边界条件：连接分段解的唯一桥梁

三段解各自含有待定系数，必须靠边界条件把它们联系起来。物理要求是波函数及其一阶导数在势能跃变处连续（势能有限跃变时成立）：

• x=0 处：ψ₁(0)=ψ₂(0)，ψ₁′(0)=ψ₂′(0)；
• x=a 处：ψ₂(a)=ψ₃(a)，ψ₂′(a)=ψ₃′(a)。

四个方程对应四个未知系数（以 A 归一化后为 B、C、D、F 四个未知量），方程组封闭可解。这正是传递矩阵法的出发点：把每段内的“向右/向左分量”写成向量，边界条件写成 2×2 连接矩阵，整条链的乘积给出总传输关系。数值实现时，直接解 4×4 线性方程组或连乘矩阵均可，但要注意 κa 很大时 e^{κa} 会溢出，需改用缩放或对数形式处理。

三、概率流密度：从波函数到可测量的通量

波函数本身是复数，不能直接对应观测量。要描述“有多少概率在流动”，需要引入概率流密度：

j(x) = (ħ/m) · Im[ ψ*(x) · dψ/dx ]

对平面波 ψ = A·e^{ikx}，代入可得 j = (ħk/m)|A|²，即概率流正比于振幅模方与波矢。对左行波 e^{-ikx}，j 取负值，方向信息自然包含在符号中。定态下概率密度不随时间变化，连续性方程 ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0 退化为 dj/dx = 0，意味着在无源无汇的整条链上 j 处处相等——这正是检验数值解是否可靠的一个强约束：若数值解算出的 j 在入射区与出射区不一致，说明边界处理或网格精度出了问题。

四、透射系数的定义与计算

透射系数定义为透射概率流与入射概率流之比：

T = j_trans / j_inc = (ħk/m)|F|² / ((ħk/m)|A|²) = |F|² / |A|²

由于两侧均为 V=0，波矢 k 相同，k 因子约去，T 简化为透射振幅与入射振幅模方之比。同理反射系数 R = |B|²/|A|²，且定态下满足 T + R = 1，这是概率守恒的直接体现，也是数值结果自检的第二个判据。

以方势垒为例，令 A=1，解四个边界方程可得解析结果：

T = 1 / [ 1 + (V₀² sinh²(κa)) / (4E(V₀−E)) ]

取一组教学示例参数（非实测）：电子质量 m≈9.11×10⁻³¹ kg，ħ≈1.055×10⁻³⁴ J·s，设 V₀=1.0 eV、E=0.5 eV、a=0.5 nm。可算得 κ≈√(2m·0.5eV)/ħ≈3.6×10⁹ m⁻¹，κa≈1.8，sinh(κa)≈2.94。代入得 T≈1/[1+ (1.0²×2.94²)/(4×0.5×0.5)]≈1/(1+8.64)≈0.104。也就是说，在 E 仅为势垒高度一半时，约 10% 的粒子仍能穿透 0.5 nm 的势垒——这正是隧穿效应区别于经典“能量不足必被反射”的关键。若把 a 增大到 1 nm，κa≈3.6，sinh≈18.3，T 将骤降到约 0.3%，体现出 T 对势垒宽度呈指数敏感。

综上，隧穿问题的数学表述可以概括为一条清晰的链条：分段写出含待定系数的波函数通解 → 用波函数及导数连续条件建立方程组 → 由概率流密度定义提取入射、反射、透射通量 → 得到 T 与 R 并检验 T+R=1。掌握这条链条，后续无论换成矩形势垒、双势垒还是任意形状势场（需数值积分或离散化），都只是在“通解形式”和“求解手段”上做替换，物理框架保持不变。