1. 课程导入与仿真环境搭建

周期晶格紧束缚模型是凝聚态物理中最基础、也最具延展性的可解模型之一。它把晶体中电子的运动抽象为“格点上的局域轨道 + 格点之间的跃迁积分”，用一组离散的哈密顿量矩阵元素描述能带结构。相比连续空间中的薛定谔方程，紧束缚模型把问题转化为有限维或周期性的矩阵本征值问题，天然适合数值计算，也是理解能带、态密度、拓扑不变量、无序局域化等概念的起点。

本节的目标不是推导某个具体能带公式，而是建立三件事：第一，明确紧束缚模型在数值仿真中“输入什么、输出什么”；第二，理解周期边界与有限开边界在数值实现上的差别；第三，搭建一个可复现、可版本管理的 Python 科学计算环境，为后续三十节的仿真实验打好地基。

紧束缚模型的基本结构与数值对象

以最简单的一维单轨道链为例，设晶格常数为 a，每个格点 i 上有一个能量为 ε₀ 的局域轨道，最近邻跃迁积分为 t（取 t > 0 表示跃迁振幅为正，具体符号约定在后续章节统一说明）。在二次量子化表象下，哈密顿量写作：

H = Σ_i ε₀ c†_i c_i − t Σ_<i,j> (c†_i c_j + h.c.)

对数值仿真而言，真正需要构造的是一个 N×N 的厄米矩阵。对角元为 ε₀，最近邻非对角元为 −t。若采用周期边界条件（PBC），则首尾格点之间也存在跃迁项；若采用开边界条件（OBC），则矩阵为三对角形式。这个差别看似微小，却直接决定了后续能否观察到边缘态、能否用傅里叶变换得到解析能带。

下图展示了本节需要建立的整体认识：从物理模型到数值矩阵，再到本征值求解与结果判读的完整链路，以及周期/开边界两条分支。

数值仿真的目标与可验证输出

对一维单轨道链，若取 ε₀ = 0、t = 1、a = 1，周期边界下的解析色散为 E(k) = −2t cos(ka)，k 取 2πn/(Na)，n = 0,1,…,N−1。这给了我们一个极好的“数值正确性锚点”：数值对角化得到的本征值排序后，应当与解析式在对应 k 点上的取值一致（允许浮点误差量级 10⁻¹² 左右）。

因此本节建议的仿真目标是可检验的，而不是笼统的“跑通程序”：

• 构造 N = 50 的一维链哈密顿矩阵，分别实现 PBC 与 OBC 两个版本；
• 用 numpy.linalg.eigvalsh 求本征值，验证全部为实数且矩阵厄米；
• 将 PBC 本征值与解析色散逐点比对，报告最大绝对误差；
• 输出 OBC 能谱，观察 N 增大时能谱向 [−2t, 2t] 区间填充的趋势。

下面是一段可直接运行的最小实现，用于建立“矩阵构造—求解—比对”的完整闭环：

import numpy as np

def hamiltonian_1d(N, t=1.0, eps0=0.0, pbc=True):
    H = np.zeros((N, N), dtype=float)
    for i in range(N):
        H[i, i] = eps0
        if i + 1 < N:
            H[i, i+1] = -t
            H[i+1, i] = -t
    if pbc and N > 2:
        H[0, N-1] = -t
        H[N-1, 0] = -t
    return H

N, t = 50, 1.0
H_pbc = hamiltonian_1d(N, t, pbc=True)
H_obc = hamiltonian_1d(N, t, pbc=False)

assert np.allclose(H_pbc, H_pbc.T.conj()), "矩阵必须厄米"
E_pbc = np.linalg.eigvalsh(H_pbc)
E_obc = np.linalg.eigvalsh(H_obc)

k = 2 * np.pi * np.arange(N) / N
E_analytic = -2 * t * np.cos(k)
err = np.max(np.abs(np.sort(E_pbc) - np.sort(E_analytic)))
print("PBC 最大绝对误差:", err)
print("OBC 能谱范围:", E_obc.min(), E_obc.max())

在一台普通笔记本上，这段代码应在毫秒级完成。若 err 处于 10⁻¹⁴ 至 10⁻¹² 量级，说明矩阵构造与边界条件处理正确；若误差明显偏大，最常见的原因是 PBC 的 (0, N−1) 元素漏写，或把 −t 写成了 +t 导致色散整体反号。这类“符号与边界”错误在后续二维、多轨道模型中会被放大，因此值得在第一节就建立检查习惯。

Python 科学计算环境与版本管理

数值仿真最怕的不是算错，而是“上次能跑、这次不能跑”。紧束缚模型涉及矩阵构造、稀疏对角化、绘图与可能的并行计算，依赖较多，因此建议从第一天起就用虚拟环境隔离项目，并固定版本号。推荐组合为 Python 3.11、numpy 1.26、scipy 1.11、matplotlib 3.8，这些版本在数值稳定性与 API 兼容性上较为成熟。

python -m venv .venv
source .venv/bin/activate        # Windows 使用 .venv\Scripts\activate
pip install "numpy==1.26.4" "scipy==1.11.4" "matplotlib==3.8.4"
pip freeze > requirements.txt

把 requirements.txt 与仿真脚本一起纳入 Git 管理，并在脚本开头固定随机种子（若后续引入无序或随机相位）。对于更大规模的问题（如 N = 10⁴ 的一维链或二维方格），应改用 scipy.sparse 构造稀疏矩阵，并用 scipy.sparse.linalg.eigsh 只求部分本征值，避免稠密矩阵的内存爆炸。这一取舍在后续章节会反复出现，本节只需先建立“稠密小规模验证 + 稀疏大规模计算”的双轨意识。

完成本节后，你应当拥有一个可运行的最小工程：一个能构造 PBC/OBC 哈密顿矩阵的函数、一段能输出本征值并与解析色散比对的脚本、一份锁定版本的依赖清单。这三样东西构成了后续所有仿真的基线，也是判断“模型实现是否正确”的第一道关卡。