4. 耦合双量子比特的能级结构与本征态

前几节我们把单个量子比特当作独立的两能级系统处理，一旦两个量子比特之间存在可控耦合，整个系统的希尔伯特空间就扩展为四维，能级结构也随之改变。本节要解决的核心问题是：给定一个典型的耦合模型，如何写出哈密顿量、求出四个本征能量与对应的本征态，并理解耦合强度如何导致能级排斥与避免交叉。这是后续分析门操作、串扰与色散读取的基础。

一、典型耦合模型与哈密顿量

先约定参照与符号：取 ħ = 1，单比特能量用角频率表示。设两个量子比特的本征频率分别为 ω₁、ω₂，耦合强度为 g（单位与频率相同）。在最常见的横向耦合（如电容耦合的超导比特、交换耦合的自旋比特）近似下，忽略更高能级，系统哈密顿量可写为：

H = (ω₁/2) σz⊗I + (ω₂/2) I⊗σz + g (σx⊗σx + σy⊗σy)/2
  = (ω₁/2) σz⊗I + (ω₂/2) I⊗σz + g (σ+⊗σ- + σ-⊗σ+)

这里第二行利用了 (σx⊗σx + σy⊗σy)/2 = σ+⊗σ- + σ-⊗σ+。这个形式说明：耦合项只连接 |01⟩ 与 |10⟩ 两个态，即一个比特激发、另一个处于基态的两个单激发态之间发生交换；而 |00⟩ 与 |11⟩ 不被耦合项直接连接。这是横向耦合模型最重要的结构特征，也是后面能级图呈现“中间两条能级排斥、两端能级不动”的根源。

若采用纵向耦合（如某些磁通耦合或 ZZ 耦合），耦合项为 g σz⊗σz，它不交换激发，只对 |01⟩ 与 |10⟩ 施加相同相移，不会产生单激发子空间的能级排斥。因此讨论避免交叉时，必须明确耦合的横向/纵向性质，不能笼统说“有耦合就会避免交叉”。

二、本征能量与本征态的求解

在计算基 {|00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩} 下，哈密顿量矩阵为分块对角形式。|00⟩ 与 |11⟩ 各自独立，能量分别为：

E₀₀ = -(ω₁ + ω₂)/2
E₁₁ = +(ω₁ + ω₂)/2

单激发子空间 {|01⟩, |10⟩} 对应一个 2×2 矩阵：

H_sub = [ -Δ/2   g   ]
        [  g    +Δ/2 ]

其中 Δ = ω₁ − ω₂ 为失谐量。对该矩阵对角化，得到两个本征能量：

E± = ± (1/2)√(Δ² + 4g²)

对应的本征态为混合态：

|+⟩ = cos(θ/2)|01⟩ + sin(θ/2)|10⟩
|−⟩ = −sin(θ/2)|01⟩ + cos(θ/2)|10⟩
tan θ = 2g/Δ

当 Δ = 0（两比特共振）时，θ = π/2，本征态变为 (|01⟩ ± |10⟩)/√2，即最大纠缠的对称/反对称叠加态，能量分裂为 ±g。当 |Δ| ≫ 2g 时，θ → 0，本征态几乎退化为 |01⟩ 与 |10⟩，能量近似为 ±Δ/2，耦合的影响被失谐压制。这个 θ 就是混合角，它直接决定耦合门在多大程度上能交换激发。

三、能级排斥与避免交叉

把 E± 随失谐 Δ 的变化画出来，会看到两条曲线在 Δ = 0 附近并不相交，而是保持最小间距 2g，这就是避免交叉（avoided crossing）。若 g = 0，两条直线 E = ±Δ/2 会在 Δ = 0 处交叉；一旦 g ≠ 0，交叉被“推开”，最小能隙等于 2g。这个现象称为能级排斥（level repulsion）：耦合把简并点打开成一个能隙，耦合越强，能隙越大，曲线弯曲越明显。

需要区分两种极限：在 |Δ| ≫ 2g 的远失谐区，能级几乎不随 g 改变，耦合只带来微小的二阶修正；在 |Δ| ≪ 2g 的近共振区，能级对 g 极其敏感，这正是用耦合做 iSWAP 类门操作的工作区间。工程上，若想抑制两比特间的 unwanted 交换，应让 |Δ| 远大于 g；若想实现快速交换，则把 Δ 调到接近 0。

四、能级图与数值示例

下图给出典型横向耦合模型的能级随失谐 Δ 的变化。左侧为单激发子空间的两条本征能级 E±，在 Δ = 0 处形成宽度 2g 的避免交叉；右侧标出 |00⟩ 与 |11⟩ 两条不参与耦合的能级，作为参照。图中同时标注了远失谐区与近共振区两个工作区间。

用一个具体示例说明数值关系（以下为教学假设参数，非实测）：设 ω₁/2π = 5.00 GHz，ω₂/2π = 5.20 GHz，则 Δ/2π = −0.20 GHz；取 g/2π = 0.02 GHz。此时 2g/2π = 0.04 GHz，|Δ|/2π = 0.20 GHz，属于 |Δ| ≫ 2g 的远失谐区。代入 E± 公式，单激发子空间能级约为 ±0.1008 GHz，与 ±Δ/2 = ±0.10 GHz 只差约 0.8 MHz，说明耦合修正很小。若把 ω₂ 调到 5.00 GHz 使 Δ = 0，则 E± = ±g = ±0.02 GHz，两能级间距从 0.20 GHz 收缩为 0.04 GHz，本征态变为最大纠缠态。这一对比清楚展示了失谐与耦合强度对能级结构的竞争关系。

五、从能级图读出工程信息

能级图不只是理论结果，它直接对应可观测的谱线位置与门操作条件。实际操作中，通过扫描一个比特的频率（改变 Δ）并测量另一个比特的谱响应，就能看到避免交叉的“鼓包”；鼓包的最小间距给出 2g，鼓包宽度反映耦合的作用范围。若测得的间距明显小于设计值，通常意味着耦合器偏置不对或存在寄生耦合；若鼓包不对称，则提示两比特频率漂移或存在纵向耦合分量。

此外，本征态表达式中的混合角 θ 决定了门操作的时间尺度：在近共振区，|01⟩ 与 |10⟩ 以频率 2g 进行拉比式交换，半交换时间约为 π/(2g)。因此从能级图读出 2g 后，就能估算 iSWAP 门所需脉宽，并与退相干时间比较，判断该耦合强度是否足以支撑高保真门。这正是把“能级结构”与“动力学分析”连接起来的关键一步。