3. 耦合双量子比特的哈密顿量建模

要分析耦合双量子比特的动力学，第一步是把“两个量子比特如何相互作用”写成可计算的哈密顿量。本节从最一般的两体相互作用出发，逐步收缩到 XXZ、Heisenberg 与 Jaynes-Cummings 三类常见模型，并说明每个参数的物理含义、成立条件以及建模时容易踩的坑。

一、从一般两体相互作用到自旋耦合形式

设两个量子比特分别由泡利算符 σ⃗₁、σ⃗₂ 描述，在无外场时，最一般的双线性耦合可写成

H_int = Σ_{α,β ∈ {x,y,z}} J_{αβ} · σ₁^α ⊗ σ₂^β

其中 J_{αβ} 是 3×3 耦合张量，单位与能量相同（常以 rad/s 或 GHz 表示，取 ℏ=1）。若介质各向同性且无自旋轨道耦合，J_{αβ} 退化为对角形式 J_{αβ}=J_α δ_{αβ}，于是得到对角耦合模型

H = (ℏω₁/2) σ₁^z + (ℏω₂/2) σ₂^z + J_x σ₁^x σ₂^x + J_y σ₁^y σ₂^y + J_z σ₁^z σ₂^z

这里 ω₁、ω₂ 是单个量子比特的跃迁频率（本征能级间隔），J_x、J_y、J_z 分别刻画沿三个自旋方向的交换耦合强度。注意符号约定：本文取 σ^z 本征态 |0⟩ 对应 +1、|1⟩ 对应 −1，因此 ω>0 时 |0⟩ 为低能态。全文与图示均采用这一约定。

二、XXZ 模型：各向异性交换

当 J_x = J_y = J_⊥、J_z = J_∥ 时，哈密顿量称为 XXZ 模型：

H_XXZ = (ℏω₁/2)σ₁^z + (ℏω₂/2)σ₂^z + J_⊥(σ₁^xσ₂^x + σ₁^yσ₂^y) + J_∥ σ₁^zσ₂^z

利用升降算符 σ^± = (σ^x ± iσ^y)/2，横向项可改写为 2J_⊥(σ₁^+σ₂^- + σ₁^-σ₂^+)，它描述一个比特激发、另一个比特退激的“翻转-翻转”过程，是能量交换的通道；纵向项 J_∥σ₁^zσ₂^z 不改变激发数，只根据两比特的相对取向移动能级，属于纯退相位型耦合。XXZ 模型在超导 transmon、量子点自旋和中性原子阵列中都很常见，尤其适合描述存在交换各向异性的近邻耦合。

三、Heisenberg 模型：各向同性极限

若进一步令 J_⊥ = J_∥ = J，则得到各向同性 Heisenberg 交换：

H_H = (ℏω₁/2)σ₁^z + (ℏω₂/2)σ₂^z + J(σ₁^xσ₂^x + σ₁^yσ₂^y + σ₁^zσ₂^z)

其等价形式为 H = J σ⃗₁·σ⃗₂，物理上来源于电子波函数交叠引起的直接交换作用，J 的符号决定铁磁（J<0）或反铁磁（J>0）倾向。Heisenberg 模型是量子磁性、自旋链和量子模拟的基准模型；在超导电路中，它通常不是“原生”相互作用，而是通过调节 coupler 偏置把 XXZ 调到各向同性点附近近似得到。

四、Jaynes-Cummings 模型：比特与谐振腔的耦合

当两个量子比特并非直接耦合，而是共同耦合到一个微波谐振腔（或传输线）时，更自然的描述是 Jaynes-Cummings 型相互作用。以比特 a 与腔模为例：

H_JC = ℏω_r a†a + (ℏω_q/2)σ^z + ℏg(a†σ^- + aσ^+)

其中 ω_r 为腔频，a†、a 为腔模产生/湮灭算符，g 为单光子耦合强度。旋转波近似（RWA）要求 g ≪ ω_r + ω_q，此时可忽略 a†σ^+ 与 aσ^- 这类同时产生或湮灭激发的高频项。两个比特通过同一腔模交换虚光子，等效得到 XX 型比特间耦合，耦合强度约为 J_eff ≈ g₁g₂/Δ，Δ 为比特与腔的失谐量。这正是“腔 mediated 耦合”的建模基础，也是超导量子芯片中可调耦合器的常用思路。

五、参数物理意义与近似条件对照

建模时最容易出错的地方，是把不同来源的耦合项混为一谈。下表给出常见参数的量纲、物理作用与典型取值区间（示例值仅作教学参考，非实测数据）：

六、建模实操：从物理器件到矩阵

以两个频率略有差异的超导 transmon 通过可调 coupler 耦合为例，建模流程可落到具体矩阵上。取 ω₁/2π = 5.00 GHz、ω₂/2π = 5.20 GHz、J_⊥/2π = 10 MHz、J_∥/2π = 2 MHz，在 {|00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩} 基下构造 4×4 哈密顿量（单位 GHz，ℏ=1）：

import numpy as np
sx = np.array([[0,1],[1,0]]); sy = np.array([[0,-1j],[1j,0]]); sz = np.diag([1,-1])
I = np.eye(2)
w1, w2 = 5.00, 5.20          # GHz
Jp, Jz = 0.010, 0.002        # GHz
H = 0.5*w1*np.kron(sz,I) + 0.5*w2*np.kron(I,sz) \
    + Jp*(np.kron(sx,sx)+np.kron(sy,sy)) + Jz*np.kron(sz,sz)
# 在 |01>,|10> 子空间观察交换振荡频率
sub = H[[1,2]][:,[1,2]]
evals, evecs = np.linalg.eigh(sub)
print(evals)   # 两本征值之差即 2*J_eff

运行后应看到子空间两个本征值之差约为 2J_⊥（在 J_⊥ ≪ 失谐时），对应 |01⟩ 与 |10⟩ 之间的 Rabi 型交换振荡，频率为 2J_⊥。若把 J_∥ 调大，会发现 |11⟩ 能级相对 |01⟩、|10⟩ 发生整体平移，这正是纵向耦合贡献的条件相位；而 |00⟩ 与 |11⟩ 之间的直接耦合在 RWA 下被抑制，只有在强驱动或超强耦合区才需保留。

综上，XXZ、Heisenberg 与 Jaynes-Cummings 并非彼此独立的三套公式，而是同一双体相互作用在不同对称性与近似层级下的投影：先写出一般张量，再依据介质对称性对角化，依据各向异性程度选择 XXZ 或 Heisenberg，依据耦合中介选择直接交换或腔 mediated 的 JC 形式。建模的可靠性最终取决于近似条件是否与器件参数匹配，而不是公式本身是否漂亮。