3. 泡利算符代数与哈密顿量的泡利串展开
在量子计算中，几乎所有的哈密顿量最终都要被写成泡利串（Pauli string）的线性组合。所谓泡利串，就是作用在多个量子比特上的泡利矩阵张量积，例如 X⊗Y⊗I⊗Z，简写为 XYZI 或 X₀Y₁Z₃。理解泡利算符的乘法规则与对易关系，是把费米子哈密顿量转化为量子线路可执行形式的第一步。本节从泡利代数出发，给出 Jordan-Wigner 变换的完整推导与手工计算示例。
一、泡利矩阵的乘法规则
单比特泡利算符定义为：
I = [[1, 0], [0, 1]]
X = [[0, 1], [1, 0]]
Y = [[0,-i], [ i, 0]]
Z = [[1, 0], [0,-1]]它们满足三条基本性质：平方为单位阵（X²=Y²=Z²=I）、两两反对易（XY=-YX，YZ=-ZY，ZX=-XZ）、乘积闭合（XY=iZ，YZ=iX，ZX=iY）。把这三条性质整理成一张乘法表，是后续所有推导的基础。
多比特泡利串的乘法按位独立进行。两个泡利串相乘时，逐位套用单比特规则，并把每一位产生的相位因子（±1、±i）相乘。例如：
(X⊗Z) · (Y⊗Z) = (XY)⊗(ZZ) = (iZ)⊗I = i·(Z⊗I)注意相位因子 i 是全局的，不能丢弃——它决定了两个泡利串是否对易。判断两个泡利串 A、B 是否对易，只需看它们“反对易的位数”是奇数还是偶数：奇数则反对易，偶数则对易。这一判据在构造测量分组时极为关键。
二、对易关系与测量分组
泡利串之间的对易关系直接决定了它们能否被同一组测量电路同时测量。若两个泡利串对易，它们可以共享同一组基变换；若反对易，则必须分开测量。以氢分子（H₂）在 STO-3G 基组下的哈密顿量为例，其泡利展开包含 15 个非平凡项，其中 II、IZ、ZI、ZZ、XX、YY 等项可以按对易关系分成若干组，每组只需一次测量设置。分组越紧凑，测量次数越少，这是变分量子本征求解器（VQE）中降低采样开销的核心技巧。
三、Jordan-Wigner 变换：从费米子到泡利串
费米子算符满足反对易关系 {aᵢ, aⱼ†}=δᵢⱼ，而量子比特上的泡利算符满足的是另一套代数。Jordan-Wigner 变换的作用，就是构造一个映射，使费米子的产生/湮灭算符被表示为泡利串，同时自动继承反对易性。其核心思想是：用 Z 串记录“前面所有格点的占据数”，从而在跨越格点时引入正确的符号。
标准形式为（以格点编号 0,1,2,… 从左到右排列）：
aⱼ = (Z₀Z₁…Zⱼ₋₁) ⊗ σⱼ⁺
aⱼ† = (Z₀Z₁…Zⱼ₋₁) ⊗ σⱼ⁻其中 σ⁺=(X+iY)/2，σ⁻=(X−iY)/2。以两格点为例，手工展开：
a₀ = σ₀⁺ = (X₀ + iY₀)/2
a₁ = Z₀ ⊗ σ₁⁺ = (Z₀X₁ + iZ₀Y₁)/2
a₀†a₁ = σ₀⁻ · Z₀σ₁⁺ = (X₀−iY₀)/2 · Z₀(X₁+iY₁)/2
= (X₀Z₀X₁ + iX₀Z₀Y₁ − iY₀Z₀X₁ + Y₀Z₀Y₁)/4利用 XZ=−iY、YZ=iX 化简，最终得到 a₀†a₁ = (X₀X₁ + Y₀Y₁)/4 + i(X₀Y₁ − Y₀X₁)/4 的形式。这正是紧束缚模型 hopping 项在量子比特上的标准表达。可以看到，原本简洁的费米子跳跃项，展开后变成了若干泡利串的叠加，系数为实数或纯虚数。
四、从哈密顿量到可执行形式
把上述流程串起来，一个典型的费米子哈密顿量 H = Σ hᵢⱼ aᵢ†aⱼ + Σ Vᵢⱼₖₗ aᵢ†aⱼ†aₖaₗ 经过 Jordan-Wigner 变换后，会得到形如 H = Σ cₖ Pₖ 的泡利串展开，其中 Pₖ 是泡利串，cₖ 是实数系数（厄米性保证虚部相消）。下图展示了这一变换链的关键环节与相位来源。
五、手工计算示例与结果判读
下面以两格点、单电子的 hopping 项 H = t(a₀†a₁ + a₁†a₀) 为例，取 t=1，演示完整展开。由前文结果：
a₀†a₁ = (X₀X₁ + Y₀Y₁)/4 + i(X₀Y₁ − Y₀X₁)/4
a₁†a₀ = (X₀X₁ + Y₀Y₁)/4 − i(X₀Y₁ − Y₀X₁)/4两者相加，虚部抵消，得到 H = (X₀X₁ + Y₀Y₁)/2。这是一个只含两个泡利串的实系数哈密顿量，且 XX 与 YY 对易（反对易位数为 2，偶数），因此可以在同一组测量中同时估计。若把 t 改为 0.5，则系数整体缩放为 0.25，泡利串结构不变——这说明系数只影响能量标度，不影响测量分组。
判读结果时，应检查三点：第一，所有系数是否为实数（厄米性）；第二，泡利串中是否出现 I 以外的非平凡项数量是否与理论预期一致；第三，对易分组后每组内的项数是否合理。若出现复数系数或分组异常，通常意味着 Z 串的符号约定或格点编号顺序在推导中被弄反了。