3. 布洛赫球表示原理

在上一节中，我们用二维复向量 [α, β]ᵀ 描述一个量子比特，其中 α、β 为复数，满足 |α|² + |β|² = 1。这种表示在代数上很精确，但四个实数（α 的实部虚部、β 的实部虚部）减去归一化约束和一个全局相位自由度，真正可观测的自由度只有两个。布洛赫球（Bloch sphere）正是把这两个自由度映射到一个三维单位球面上的几何工具，使单量子比特的纯态可以被"看见"。

一、从复振幅到球面坐标的推导

先约定相位参照：我们以 |0⟩ 的振幅为实数且非负作为相位基准，即把整体相位固定下来。任意单量子比特纯态可写成

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)·sin(θ/2)|1⟩
其中 0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ < 2π

这里 θ 称为极角（与 z 轴的夹角），φ 称为方位角（在 xy 平面内与 x 轴的夹角）。注意 θ/2 这个"半角"是关键：它来自两能级系统 SU(2) 与三维旋转群 SO(3) 之间的二重覆盖关系，也直接导致后面"正交态在球面上互为对径点"的结论。

把该态对应到球面上的笛卡尔坐标 (x, y, z)：

x = sinθ·cosφ
y = sinθ·sinφ
z = cosθ

这三个分量恰好等于该态在泡利算符 X、Y、Z 下的期望值：⟨X⟩ = x，⟨Y⟩ = y，⟨Z⟩ = z。因此布洛赫向量的物理含义非常直接——它就是三个可观测量的期望值构成的三维矢量，长度满足 x² + y² + z² = 1（纯态）。

二、球面上的关键位置与量子态对应

布洛赫球的六个极点位置对应六个最常用的基态，这是读图时最先要记住的锚点：

• 北极 (0,0,1)：θ=0，对应 |0⟩；南极 (0,0,−1)：θ=π，对应 |1⟩。
• +x 轴 (1,0,0)：θ=π/2、φ=0，对应 |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2；−x 轴对应 |−⟩。
• +y 轴 (0,1,0)：θ=π/2、φ=π/2，对应 |+i⟩ = (|0⟩+i|1⟩)/√2；−y 轴对应 |−i⟩。

由此可以读出两条重要规律。第一，z 轴两极是计算基，x、y 轴上的点则是 X 基与 Y 基的本征态，这正是量子计算中"换基测量"的几何图像。第二，任意一对正交态（如 |0⟩ 与 |1⟩、|+⟩ 与 |−⟩）在球面上恰好互为对径点，夹角为 180°。需要特别提醒：两个布洛赫向量之间的夹角并不等于两个态矢量在希尔伯特空间中的夹角，后者是前者的一半，这正是半角公式的几何体现。

三、布洛赫球示意图

四、用具体数值读图：一个可复算的示例

假设某量子比特处于态 |ψ⟩ = cos(π/6)|0⟩ + e^(iπ/3)·sin(π/6)|1⟩。这里 θ = π/3（即 60°），φ = π/3（即 60°）。代入坐标公式：

z = cos(60°) = 0.500
x = sin(60°)·cos(60°) = 0.866 × 0.500 = 0.433
y = sin(60°)·sin(60°) = 0.866 × 0.866 = 0.750
校验：0.433² + 0.750² + 0.500² = 0.187 + 0.563 + 0.250 = 1.000 ✓

于是该态在球面上位于北半球、偏向 +y 方向的位置。若此时沿 z 轴测量，得到 |0⟩ 的概率为 cos²(θ/2) = cos²(30°) = 0.75，得到 |1⟩ 的概率为 0.25；而 z 分量 0.5 恰好等于 P(0) − P(1) = 0.75 − 0.25。这个关系是布洛赫球最实用的读图技巧之一：z 坐标直接给出计算基测量的期望偏置。同理，x 坐标给出 X 基测量的偏置，y 坐标给出 Y 基测量的偏置。

五、常见操作在球面上的几何效果

把门操作理解为球面上的旋转，是布洛赫球表示最大的工程价值。以下对应关系在调试量子线路时非常有用：

需要注意，绕 z 轴旋转只改变方位角 φ，不改变 θ，因此不改变计算基下的测量概率，只改变相位信息——这解释了为什么纯相位门在计算基测量下"看不见"，却能在干涉线路中起决定作用。另外，由于半角关系，球面上旋转 360° 只对应态矢量旋转 180°，态矢量需要旋转 720° 才完全复原，这是费米子与自旋系统的典型特征。

六、边界与局限：球内点与多比特

布洛赫球面只表示纯态。当量子比特与环境保护纠缠、发生退相干时，状态变为混合态，其布洛赫向量长度 r < 1，落在球体内部；r = 0 的球心对应完全混合态 I/2，此时任何方向的测量结果都是 50/50。因此，实验中常通过量子态层析（quantum state tomography）重建密度矩阵，再算出 (⟨X⟩, ⟨Y⟩, ⟨Z⟩) 三点，观察向量长度随时间的衰减来评估退相干程度——这是超导量子比特标定中的常规手段。

最后必须强调：布洛赫球是单量子比特专属的可视化工具。两比特系统的纯态空间维度为 2×2−1 = 3 维的复射影空间，无法嵌入三维实空间；纠缠态（如贝尔态）没有单比特布洛赫表示，若强行对其中一个比特求偏迹，得到的只是球心的混合态，纠缠信息完全丢失。因此看到"两个球"时，只能说明各自的约化态，不能据此判断两比特是否纠缠。