2. 量子比特状态的数学表示

要精确描述一个量子比特，光靠“它同时是0又是1”这种说法是不够的。我们需要一套数学语言，既能写出状态本身，又能计算测量概率、演化结果和不同状态之间的关系。这套语言的核心就是态矢量与狄拉克符号。本节从“状态是一个向量”这一基本认识出发，逐步建立单量子比特的数学描述，并完成一次手写状态表示的练习。

一、态矢量：把状态放进二维复向量空间

单量子比特的纯态可以用一个二维复向量表示。选定一组正交归一基后，任意状态写成：

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩,   α, β ∈ ℂ,   |α|² + |β|² = 1

这里 α 和 β 称为概率幅，它们是复数，不是概率。归一化条件 |α|² + |β|² = 1 保证测量结果的总概率为1。测量时，得到0的概率是 |α|²，得到1的概率是 |β|²。注意概率幅带有相位信息，而概率只取模平方，相位在单次测量中不可见，却会影响后续干涉与门操作的结果。

用列向量写法，在计算基 {|0⟩, |1⟩} 下：

|0⟩ = [1, 0]ᵀ,   |1⟩ = [0, 1]ᵀ
|ψ⟩ = [α, β]ᵀ

例如 |ψ⟩ = (√3/2)|0⟩ + (1/2)|1⟩，则测得0的概率为 3/4，测得1的概率为 1/4。若写成 |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ − (i/√2)|1⟩，两个结果的概率各为 1/2，但 β 带有 −i 的相位，这个相位在施加 Hadamard 门后会改变干涉结果，是叠加态与“经典随机混合”的本质区别之一。

二、狄拉克符号：左矢、右矢与内积

狄拉克符号把向量和它的共轭转置分开记：右矢 |ψ⟩ 表示列向量，左矢 ⟨ψ| 表示其共轭转置的行向量。若 |ψ⟩ = [α, β]ᵀ，则 ⟨ψ| = [α*, β*]。两者相乘得到内积：

⟨φ|ψ⟩ = α_φ* α_ψ + β_φ* β_ψ

内积是一个复数，满足 ⟨φ|ψ⟩ = ⟨ψ|φ⟩*。当 ⟨φ|ψ⟩ = 0 时称两态正交；当 ⟨ψ|ψ⟩ = 1 时称归一。计算基的两个基矢满足 ⟨0|0⟩ = ⟨1|1⟩ = 1，⟨0|1⟩ = 0，这正是“正交归一基”的含义。外积 |ψ⟩⟨φ| 则是一个矩阵（算符），在门操作和测量算符的构造中经常出现。

狄拉克符号的好处是基无关：写 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 时不必关心具体列向量长什么样，换一组基（例如 X 基 {|+⟩, |−⟩}）只需换展开系数。这种抽象让后续讨论测量、演化、纠缠时表达更简洁。

三、基态、叠加态与布洛赫球

|0⟩ 和 |1⟩ 称为计算基态，它们是相互正交的确定态。任何 α、β 都不为零的状态都是叠加态。最常用的两个叠加态是：

|+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2
|−⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2

它们满足 ⟨+|−⟩ = 0，构成另一组正交归一基（X 基）。同一个态在不同基下展开系数不同，但态本身不变——这一点在练习中要特别注意，避免把“基”和“态”混为一谈。

由于全局相位不可观测，单量子比特纯态可去掉一个整体相位，剩下两个实参数，恰好对应球面上的一个点，这就是布洛赫球表示：

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩

其中 θ ∈ [0, π] 是极角，φ ∈ [0, 2π) 是方位角。|0⟩ 在北极（θ=0），|1⟩ 在南极（θ=π），|+⟩ 在赤道 x 轴正方向，|−⟩ 在 x 轴负方向。注意 θ/2 的半角关系：θ 转一圈，态矢量只转半圈，这是自旋1/2系统的特征，也是布洛赫球与普通三维球面不同的地方。

单量子比特状态：从代数表示到几何表示 态矢量与狄拉克符号 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ |α|² + |β|² = 1 ⟨ψ| = [α*, β*] ⟨φ|ψ⟩ = α_φ*α_ψ + β_φ*β_ψ 右矢=列向量，左矢=共轭转置行向量 基态与叠加态 |0⟩ = [1, 0]ᵀ （确定态） |1⟩ = [0, 1]ᵀ （确定态） |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 |−⟩ = (|0⟩−|1⟩)/√2 ⟨0|1⟩=0，⟨+|−⟩=0：两组正交归一基 |0⟩ |1⟩ |+⟩ |−⟩ |ψ⟩ θ φ 系数(α,β) θ, φ 参数化 |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)sin(θ/2)|1⟩

四、手写单量子比特状态表示练习

下面给出一个可实际动笔完成的练习。目标不是背公式，而是把“给定态→写出系数→算概率→判断基与叠加性→画到布洛赫球”这条链路走通一遍。

练习任务：对以下三个单量子比特态，分别完成状态表示表。

态 A：|ψ_A⟩ = (1/2)|0⟩ + (√3/2)|1⟩
态 B：|ψ_B⟩ = (1/√2)|0⟩ − (1/√2)|1⟩
态 C：|ψ_C⟩ = (1/√2)|0⟩ + (i/√2)|1⟩

手写步骤建议：

  1. 写出 α、β 的实部与虚部，检查 |α|² + |β|² 是否等于1；
  2. 计算 P(0)=|α|²、P(1)=|β|²，并写出测量后的可能结果；
  3. 判断该态是否为计算基态、是否为叠加态、是否与 |+⟩ 或 |−⟩ 重合；
  4. 由 α = cos(θ/2)、β = e^(iφ)sin(θ/2) 反解 θ 与 φ，标出布洛赫球上的位置；
  5. 写出对应的左矢 ⟨ψ|，并计算 ⟨ψ|ψ⟩ 验证归一。

以态 B 为例示范：α = 1/√2，β = −1/√2，两者模平方均为 1/2，归一成立。P(0)=P(1)=1/2。由于 β 为负实数，φ = π，θ = π/2，该态位于布洛赫球赤道 x 轴负方向，正是 |−⟩。左矢为 ⟨ψ_B| = (1/√2)⟨0| − (1/√2)⟨1|，内积 ⟨ψ_B|ψ_B⟩ = 1/2 + 1/2 = 1。态 C 的 β 为纯虚数，φ = π/2，位于赤道 y 轴正方向，它与 |+⟩、|−⟩ 都不同，但测量概率同样是各 1/2——这说明“概率相同”远不足以确定一个量子态，相位才是区分它们的关键。

手写时建议固定使用计算基 {|0⟩, |1⟩} 展开，并在每行末尾标注“基”与“系数”，避免把 |+⟩ 的系数误写成 |0⟩、|1⟩ 的系数。若题目要求换到 X 基，需先用 ⟨+|0⟩ = 1/√2、⟨+|1⟩ = 1/√2 做基变换，再重新读系数。

五、常见错误与检查要点

练习中最容易出现的错误有四类：一是把概率幅直接当概率，忘记取模平方；二是忽略复相位，把态 C 误判为与 |+⟩ 相同；三是归一化算错，例如把 (1/2)² 写成 1/2；四是布洛赫球角度用错，把 θ 直接当成普通极角而漏掉半角关系。检查时可用三个快速判据：模平方和为1、正交态内积为0、同一态在不同基下展开系数不同但内积不变。把这三条写进手写练习的页边，能显著减少符号层面的错误。

掌握这套表示后，后续的量子门、测量与多比特纠缠都可以在同一套符号体系下展开：门是作用在态矢量上的酉矩阵，测量是沿某组基做投影，而叠加与相位则贯穿始终。把本节的手写练习做扎实，是后面所有计算的基础。

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