2. 量子信息基础

量子通信系统的所有能力与限制，最终都可以追溯到量子信息的基本描述方式。经典比特只有 0 和 1 两个确定状态，而量子比特（qubit）的状态是二维复希尔伯特空间中的单位矢量，通常写成

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 为复数，且满足 |α|² + |β|² = 1。

这里 |0⟩ 与 |1⟩ 是一组正交基，对应后续测量可能得到的两个经典结果。α、β 称为概率幅，它们本身不可直接观测，只有模平方才对应测量到 |0⟩ 或 |1⟩ 的概率。这一点是理解量子通信的第一道门槛：量子比特携带的是“幅”，不是“概率”。

叠加态与相位：量子比特的几何图像

当 α、β 都不为零时，量子比特处于叠加态。忽略全局相位后，单量子比特状态可用布洛赫球上的一个点表示：极角 θ 决定 |0⟩ 与 |1⟩ 的权重，方位角 φ 表示相对相位。例如

|+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2，|−⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2，

两者测量到 0 或 1 的概率都是 50%，但相对相位不同，因此在 |+⟩/|−⟩ 基下测量会得到确定结果。这说明：仅看计算基下的概率分布，无法区分 |+⟩ 与 |−⟩；相位信息必须通过换基测量才能读出。BB84 协议正是利用两组共轭基（Z 基 {|0⟩,|1⟩} 与 X 基 {|+⟩,|−⟩}）来编码密钥比特，窃听者若选错基，就会扰动相位关系并暴露痕迹。

纠缠态：非局域关联资源

两量子比特的复合系统状态空间维数为 4。若状态不能写成两个单比特状态的张量积，就是纠缠态。最典型的 Bell 态之一为

|Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2。

对 |Φ⁺⟩ 的任一比特单独测量，得到 0 或 1 各为 50%，看似随机；但两个比特的测量结果完全相关：一方得 0，另一方必得 0；一方得 1，另一方必得 1。这种关联不依赖测量顺序，也不能用来超光速传信，因为单边测量结果本身是随机的。纠缠是量子密钥分发、量子隐形传态和纠缠交换的核心资源，其质量通常用保真度 F 与纠缠度（如 concurrence）衡量。工程上，光纤信道会使纠缠对退相干，保真度下降，因此需要纠缠纯化或量子中继。

密度矩阵：混合态与退相干的统一语言

当系统状态不完全已知，或与环境保护纠缠时，用密度矩阵 ρ 描述。纯态 ρ = |ψ⟩⟨ψ|，满足 Tr(ρ²) = 1；混合态满足 Tr(ρ²) < 1。例如完全退相干的单比特状态为

ρ = (1/2)|0⟩⟨0| + (1/2)|1⟩⟨1| = I/2，

其布洛赫矢量长度为 0，表示无相位信息。密度矩阵的对角元给出计算基测量概率，非对角元反映相干性。信道传输中，退相干可建模为

ρ → (1−p)ρ + p·(I/2)，

其中 p 为退相干概率。工程上通过量子态层析（quantum state tomography）测量多个基下的期望值，重构 ρ，再用保真度 F(ρ,σ) = (Tr√(√ρ σ √ρ))² 判断实际态与目标态的接近程度。这是量子通信链路调试中最基本的验证手段。

测量公设与不可克隆定理

测量公设指出：对状态 |ψ⟩ 测量可观测量 M，结果只能是 M 的本征值之一，概率由投影算符决定；测量后状态坍缩到对应本征态。这意味着测量一般不可逆，且会扰动原状态。若两个态非正交，⟨φ|ψ⟩ ≠ 0，则不存在一次测量能无差错地区分它们。这正是量子密钥分发中窃听可被检测的物理基础。

不可克隆定理进一步指出：不存在一个物理过程能对任意未知量子态 |ψ⟩ 实现 |ψ⟩ → |ψ⟩|ψ⟩ 的完美复制。其证明基于线性性：若克隆算符 U 对 |0⟩ 和 |1⟩ 分别成立，则对叠加态 α|0⟩+β|1⟩ 会得到 α|00⟩+β|11⟩，而非 (α|0⟩+β|1⟩)(α|0⟩+β|1⟩)。因此窃听者不能先复制再测量而不留痕迹。工程含义是：量子信号不能像经典信号那样随意分路放大，必须使用低损耗信道、单光子探测和可信中继或量子中继。

海森堡不确定性原理及其通信约束

海森堡不确定性原理给出：Δx·Δp ≥ ℏ/2。更一般地，对任意两个不对易可观测量 A、B，有 ΔA·ΔB ≥ |⟨[A,B]⟩|/2。在量子通信中，它约束了同时精确测量共轭基的能力。例如，若窃听者精确测量 Z 基，就会扰动 X 基的相位信息，导致误码率上升。BB84 中，当量子比特误码率 QBER 超过约 11% 时，窃听者可能获得的信息量超过合法双方，密钥不再安全，必须中止或丢弃。

此外，不确定性原理也限制了连续变量量子通信中的信噪比与密钥率。实际系统中，探测器效率、暗计数、信道损耗都会等效增加噪声，使安全密钥率下降。因此，量子通信工程不是追求“绝对安全”的口号，而是在给定损耗、噪声和探测条件下，通过参数估计与后处理，判断是否还能提取出安全密钥。

对通信系统的直接约束

把上述原理落到工程上，可以得到几条硬约束。第一，量子信号不能克隆，因此不能使用经典光通信中的掺铒光纤放大器（EDFA）直接放大单光子信号；长距离传输必须依赖低损耗光纤、低温探测器或量子中继。第二，测量会扰动状态，因此窃听必然引入误码，安全判据不是“有没有被截获”，而是“误码率是否低于阈值”。第三，非正交态不可区分，因此协议必须使用共轭基，且基比对（sifting）会丢弃约一半的原始数据。第四，退相干使密度矩阵非对角元衰减，导致干涉可见度下降，最终限制安全密钥率。

以一个典型的 BB84 光纤链路为例：假设光源为弱相干态，平均光子数 μ = 0.1，信道损耗 0.2 dB/km，传输 50 km 后总损耗约 10 dB，探测器效率 10%，暗计数率 10⁻⁶/门。此时原始密钥率会显著下降，QBER 可能从 1% 升到 3%～5%。若 QBER 仍低于 11%，经过纠错和隐私放大后仍可提取安全密钥；若超过阈值，则必须降低 μ、缩短距离或更换探测器。这个判断过程，正是量子通信工程中最常见的参数权衡。