3. 光子态与量子光学基础

量子态层析的对象是“光子态”，因此必须先明确：我们要重构的到底是什么？在量子光学中，一个光场模式（如某条空间路径、某个偏振方向、某个频率）的量子态可以用光子数态、相干态、压缩态等来描述；而偏振态与轨道角动量态则属于光子的多个自由度，它们既可以单独作为量子比特，也可以相互纠缠。层析的任务，就是通过测量这些自由度上的可观测量的统计分布，反推出密度矩阵。

一、光子数态与相干态：能量本征与经典极限

光子数态（Fock态）|n⟩ 是哈密顿量 ħω(a†a+1/2) 的本征态，表示该模式中恰好有 n 个光子。其光子数完全确定，但相位完全不确定。对于单光子态 |1⟩，它是许多量子信息协议的基本资源。在层析中，若我们要重构一个单光子态，通常需要借助与辅助光子的干涉或使用光子数分辨探测器。

相干态 |α⟩ 是湮灭算符 a 的本征态，a|α⟩=α|α⟩，其中 α 为复数，可写为 α = |α|e^{iθ}。它是最接近经典单色光的量子态，光子数服从泊松分布：P(n)=e^{-|α|²}|α|^{2n}/n!。在实验上，衰减的激光就是很好的相干态近似。层析中，相干态常被用作“本地振荡器”或参考态，用于平衡零拍探测。

二、压缩态：噪声重分布

压缩态通过压缩算符 S(ξ)=exp[(ξ*a²−ξa†²)/2] 作用于真空或相干态得到，其中 ξ = r e^{iφ} 为压缩参数。压缩意味着某一个正交分量（如 X₁ = (a+a†)/2）的方差小于真空噪声 1/4，而另一个正交分量（X₂ = (a−a†)/(2i)）的方差相应增大，满足不确定性关系 ΔX₁·ΔX₂ ≥ 1/4。压缩态在引力波探测和连续变量量子层析中极为重要，其层析通常通过平衡零拍探测测量不同相位下的正交分量分布来实现。

三、偏振态与轨道角动量态：离散与高维自由度

偏振态是光子的二能级自由度，常用斯托克斯参量描述：S₀ = I，S₁ = I_H − I_V，S₂ = I_D − I_A，S₃ = I_R − I_L。任意偏振态可由庞加莱球上的点表示，纯态位于球面，混态位于球内。偏振层析通过测量六个偏振投影（H、V、D、A、R、L）的计数，线性反演密度矩阵。

轨道角动量（OAM）态由螺旋相位因子 exp(iℓφ) 描述，ℓ 为整数，称为拓扑荷。OAM 态构成无限维希尔伯特空间，可用于高维量子信息。OAM 层析需要测量不同 ℓ 模式之间的相干性，通常使用空间光调制器（SLM）将目标 OAM 模式转换为高斯模式，再通过单模光纤耦合计数。

四、层析中的物理实现与探测方式

不同光子态的层析实现差异很大，但核心逻辑一致：制备目标态 → 选择信息完备的测量算符集合 → 采集统计计数 → 用反演算法重构密度矩阵。

偏振层析是最成熟的分支。以水平/垂直基为例，先测量 H、V 计数得到 S₁，再测 D、A 得到 S₂，测 R、L 得到 S₃。若总计数为 N，则密度矩阵可写为 ρ = (I + S₁σ₁ + S₂σ₂ + S₃σ₃)/2，其中 σᵢ 为泡利矩阵。实际实验中，用四分之一波片和半波片组合旋转，配合偏振分束器和单光子探测器即可完成六个投影测量。示例：若测得 H=600，V=400，D=550，A=450，R=520，L=480，总计数 3000，则 S₁≈0.067，S₂≈0.033，S₃≈0.013，接近混态。

连续变量层析（相干态、压缩态）依赖平衡零拍探测。将信号光与强本地振荡（LO）在 50:50 分束器上干涉，两路光电二极管差分电流正比于信号光在 LO 相位 θ 下的正交分量 X_θ = X₁cosθ + X₂sinθ。扫描 θ 从 0 到 2π，记录每个相位下的电流方差，即可通过逆 Radon 变换或最大似然估计重构 Wigner 函数。示例：若 LO 功率 5 mW，信号光为压缩真空态，压缩度 3 dB，则在 θ=0 处噪声低于真空 3 dB，θ=π/2 处高于真空 3 dB。

OAM 层析需要测量不同拓扑荷之间的相干性。典型做法：用 SLM 加载全息光栅，将目标 OAM 模式 |ℓ⟩ 转换为高斯模式，再耦合进单模光纤。通过改变 SLM 上加载的 ℓ 值，可以测量投影 |⟨ℓ|ψ⟩|²。若要获得完整密度矩阵，还需测量不同 ℓ 之间的干涉项，例如使用 Dove 棱镜或 Mach-Zehnder 干涉仪引入相位差。对于维度 d 的 OAM 态，需要测量 d² 个投影，实验复杂度随维度平方增长。

五、选择测量基与判断结果

层析成功的关键在于测量算符集合是否“信息完备”。对于二能级偏振态，6 个投影（H、V、D、A、R、L）构成完备集；对于连续变量，需要足够多的相位点（通常 100–1000 个）来采样正交分量分布；对于 OAM 高维态，需要 d² 个投影。重构后，用保真度 F(ρ_exp, ρ_theory) = (Tr√(√ρ_theory ρ_exp √ρ_theory))² 判断实验态与目标态的接近程度。若 F > 0.95，通常认为层析结果可靠；若 F 明显偏低，需检查测量基是否遗漏、计数是否有背景、反演算法是否收敛。

此外，探测器的量子效率、暗计数、模式失配都会引入误差。例如，单光子探测器量子效率约 60%–80%，暗计数约 100–1000 counts/s；零拍探测中 LO 强度噪声和电子噪声需通过差分平衡抑制。理解这些物理限制，才能在层析实验中正确解读密度矩阵的偏差来源。