📚 课程目录第2章量子态描述与密度矩阵

2. 量子态描述与密度矩阵

在量子态层析中，我们最终要重构的对象并不是一个抽象的“波函数”，而是一个可以携带统计信息、可以直接与实验数据对应的数学对象——密度矩阵。理解密度矩阵，是理解后续所有层析算法、测量基选择与最大似然估计的前提。

若一个量子系统处于某个确定的态矢量 |ψ⟩，则称其为纯态。纯态可以用波函数或态矢量完整描述，例如光子的水平偏振态 |H⟩、对角偏振态 |D⟩=(|H⟩+|V⟩)/√2。纯态满足归一化条件 ⟨ψ|ψ⟩=1，其密度算符定义为

ρ = |ψ⟩⟨ψ|

对于纯态，ρ 是一个秩为 1 的投影算符，满足 ρ²=ρ，且 Tr(ρ²)=1。

然而在实际实验中，我们往往无法知道系统究竟处于哪一个纯态。例如，一个光源可能以概率 p₁ 发射水平偏振光子，以概率 p₂ 发射垂直偏振光子，而我们每次测量只看到一个光子，无法判断它来自哪个分支。这种“以经典概率混合多个纯态”的情形称为混合态，其密度算符为

ρ = Σᵢ pᵢ |ψᵢ⟩⟨ψᵢ|,   Σᵢ pᵢ = 1,  pᵢ ≥ 0

混合态的关键特征是 Tr(ρ²)<1。定义纯度 γ=Tr(ρ²)，纯态 γ=1，混合态 γ<1。对于二维系统（qubit），完全混合态 ρ=I/2 的纯度为 1/2，是纯度最低的状态。

纯态与混合态的区别不在于“是否随机”，而在于随机性来自量子叠加还是经典概率混合。叠加态 |D⟩ 是纯态，而“50% |H⟩ + 50% |V⟩”的经典混合是混合态，二者密度矩阵完全不同。

密度算符 ρ 必须满足以下三条基本性质，这也是层析重构中判断结果是否物理合法的依据：

在光子偏振层析中，重构得到的 2×2 密度矩阵若出现负本征值，说明该矩阵不是物理态，需要借助最大似然估计将其投影回物理态集合。这是层析实验中最常见的“结果修正”环节。

任意单量子比特密度矩阵都可以用单位矩阵和三个泡利矩阵展开：

ρ = (I + rₓσₓ + r_yσ_y + r_zσ_z) / 2

其中 r=(rₓ, r_y, r_z) 称为布洛赫矢量。纯态对应 |r|=1，即布洛赫球表面；混合态对应 |r|<1，即球内部；完全混合态对应 r=0，即球心。布洛赫球把抽象的密度矩阵转化为三维空间中的几何对象，使纯态、混合态、退相干过程一目了然。

以水平偏振态 |H⟩ 为例，在基 {|H⟩,|V⟩} 下：

ρ_H = |H⟩⟨H| = [[1, 0],
                [0, 0]]

对角偏振态 |D⟩=(|H⟩+|V⟩)/√2 的密度矩阵为：

ρ_D = 1/2 [[1, 1],
           [1, 1]]

而“50% |H⟩ 与 50% |V⟩ 的经典混合”对应：

ρ_mix = 1/2 [[1, 0],
             [0, 1]] = I/2

注意 ρ_D 与 ρ_mix 的对角元相同，但非对角元（相干项）完全不同。ρ_D 的非对角元为 1/2，代表量子相干性；ρ_mix 的非对角元为 0，代表完全退相干。这正是密度矩阵比“概率分布”更强的地方——它同时记录了布居数和相干性。

任意可观测量 A 的期望值由下式给出：

⟨A⟩ = Tr(ρA)

在偏振测量中，常用可观测量是泡利矩阵 σₓ、σ_y、σ_z 以及投影算符。例如，测量水平/垂直基的投影算符为 P_H=|H⟩⟨H|、P_V=|V⟩⟨V|，则

P(H) = Tr(ρ P_H) = ρ_HH
P(V) = Tr(ρ P_V) = ρ_VV

类似地，对角基测量给出 ρ_DD 与 ρ_AA，圆基测量给出 ρ_RR 与 ρ_LL。因此，只要在三个基下各测一组计数，就能得到密度矩阵的六个独立实参数（对角元 2 个，非对角元实部与虚部各 2 个，减去归一化约束）。这正是线性层析的基本思路：用可观测量的期望值反推密度矩阵元素。

层析方程示例：设测得三个基下的计数为 N_H、N_V、N_D、N_A、N_R、N_L，则密度矩阵元素可由归一化计数估计：

ρ_HH = N_H / (N_H + N_V)
ρ_VV = N_V / (N_H + N_V)
Re(ρ_HV) = (N_D − N_A) / (2(N_D + N_A))
Im(ρ_HV) = (N_R − N_L) / (2(N_R + N_L))

这些估计值再经过最大似然修正，即可得到物理合法的密度矩阵。

在实验完成后，我们通常关注三个判据：

例如，若目标态为 |D⟩，重构得到 ρ 的保真度 F=0.97，纯度 γ=0.94，则说明制备与测量链路基本可靠；若 F 仅 0.80，则需要检查波片角度、光纤偏振漂移或背景计数。

密度矩阵不是“越精确越好”的数学游戏。在层析中，任何非物理的 ρ 都必须被修正，否则由它计算出的保真度、纠缠度等指标将失去意义。最大似然估计正是为此而设。

本节建立的密度矩阵语言，将贯穿后续所有层析算法：无论是线性反演、最大似然还是贝叶斯方法，最终交付的都是一个满足厄米、归一、半正定的 2×2 矩阵。理解它的几何意义与统计意义，是读懂层析结果的第一步。