2. 偏振态数学描述与实验坐标系

偏振态的描述离不开坐标系。同一个物理态，在不同基下写成不同矢量；同一个琼斯矢量，在不同传播方向约定下对应不同的旋向。实验中最常见的错误不是算错矩阵，而是符号约定前后不一致——发送端用一套约定，接收端用另一套，最后把右旋写成左旋，把 +45° 写成 −45°。因此本节先把三组常用基的矢量定义固定下来，再明确实验室坐标系与光束传播方向的约定，最后给出符号一致性的检查方法。

一、实验室坐标系与传播方向约定

约定实验室笛卡尔坐标系为右手系：x 轴水平向右，y 轴竖直向上，z 轴沿光束传播方向指向观察者对面。即光沿 +z 方向传播，观察者站在光源一侧、迎着光看（looking into the beam），此时 x 向右、y 向上构成右手系。这一"迎光看"约定是偏振光学中最通用的约定，本节全文及图示均采用它。

若改用"顺光看"（沿传播方向看），x、y 的视觉方向会翻转，旋向判断随之相反。因此任何偏振测量记录中，必须写明观察方向。工程上常在光路图上标注一个朝向光源的箭头，并注明"view into beam"。

琼斯矢量描述的是横截面内的复振幅，写作二维列矢量：

E = [Ex; Ey] = [Ax·exp(iφx); Ay·exp(iφy)]

其中 Ax、Ay 为非负实振幅，φx、φy 为相位。全局相位不影响偏振态，只有相位差 δ = φy − φx 有意义。归一化条件为 Ax² + Ay² = 1（功率归一）。

二、三组正交基的矢量定义

水平/垂直基（HV 基，线偏振基）：水平偏振沿 x 轴，垂直偏振沿 y 轴。

|H⟩ = [1; 0]      |V⟩ = [0; 1]

这是最基础的基，任何偏振态都可写成 a|H⟩ + b|V⟩。实验中用偏振分束器（PBS）把 H 透射、V 反射，即可实现该基的投影测量。

对角基（DA 基，±45° 线偏振基）：由 HV 基线性组合得到。

|D⟩ = |+45°⟩ = (|H⟩ + |V⟩)/√2 = [1; 1]/√2
|A⟩ = |−45°⟩ = (|H⟩ − |V⟩)/√2 = [1; −1]/√2

注意符号：|D⟩ 对应 +45°，即从 x 轴向 y 轴逆时针旋转 45°；|A⟩ 对应 −45°。若把半波片快轴置于 22.5°，H 光出射即为 D 光；快轴置于 −22.5°（或 67.5°）则得 A 光。这里"快轴角度"的正方向同样定义为迎光看时的逆时针方向。

圆偏振基（LR 基）：

|R⟩ = (|H⟩ + i|V⟩)/√2 = [1; i]/√2
|L⟩ = (|H⟩ − i|V⟩)/√2 = [1; −i]/√2

在"迎光看"约定下，|R⟩ 的电场矢量随时间逆时针旋转（对应光学中常称的右旋圆偏振，即顺时针螺旋？此处需严格区分）。为避免歧义，本课程统一采用量子光学惯例：|R⟩ 定义为迎光看时电场逆时针旋转，其 y 分量相位超前 x 分量 π/2（δ = +π/2）。|L⟩ 则 δ = −π/2，迎光看时顺时针旋转。产生 R 光的常用方法：线偏振光经快轴在 45° 的四分之一波片，或经 45° 快轴后加相位延迟 +π/2。

三组基之间的变换关系可写成矩阵形式，例如 HV→DA：

[D; A] = (1/√2)·[1  1; 1  −1]·[H; V]

该矩阵为实正交矩阵，其逆等于转置。HV→LR 则为：

[R; L] = (1/√2)·[1  i; 1  −i]·[H; V]

这些变换矩阵是偏振测量中把不同基下计数换算到同一基的桥梁。

三、符号一致性的检查方法

符号不一致通常出现在三个环节：波片快轴角度定义、旋向定义、以及投影测量算符的构造。建议在实验记录中固定一张"约定卡"，至少包含以下字段：

实际操作中，可用一个已知态做"符号自检"：制备 H 光，经快轴 45° 的 QWP，若测得 R 光则约定自洽；若测得 L 光，说明快轴角或旋向定义中有一处反号。另一个自检是用 D 光经 QWP 后应得到圆偏振，用功率计配合旋转检偏器观察透射曲线是否平坦，可快速判断圆偏振是否真正生成。

四、基变换与测量算符

偏振测量本质是投影测量。在 HV 基下，投影算符为 P_H = |H⟩⟨H|、P_V = |V⟩⟨V|。若要在 DA 基测量，需先把态矢量变换到 DA 基，或用 DA 基的投影算符作用在原态上。例如测量 D 分量的概率：

P_D = |⟨D|ψ⟩|² = (1/2)(1 + 2·Re(Ex*·Ey))

其中 Ex、Ey 为归一化复振幅。类似地，圆偏振分量概率含 Im(Ex*·Ey) 项。这说明：线偏振测量提取的是复振幅的实部组合，圆偏振测量提取的是虚部组合。实验中用 QWP 把圆偏振转换为线偏振后再用 PBS 分析，正是把虚部信息"旋转"到实部来读取。

下面用一张图总结三组基在庞加莱球赤道与大圆上的位置关系，以及实验室坐标系与传播方向的约定。图中同时标出 H、V、D、A、R、L 六个态的方位，便于在测量中快速对照。

图中左侧固定了实验室坐标系与传播方向，右侧把六个基态放在庞加莱球的赤道与极点上：H、V 在赤道两端，D、A 在赤道上下，R、L 在极点。这样在实验台上旋转波片时，可以直观判断当前态在球面上的移动方向，避免把 D 与 A、R 与 L 弄反。

最后强调一点：符号一致性不是数学洁癖，而是测量可复现的前提。同一组偏振数据，若发送端与接收端对 |R⟩ 的定义相反，误码率会异常升高，而设备本身并无故障。因此在搭建偏振编码或偏振成像系统时，建议先用已知态完成一次端到端符号校验，再进入正式测量。