1. 偏振态在量子光学中的角色

在量子光学的实验体系里，偏振是最容易被“看见”、也最容易被操控的自由度之一。它既继承自经典电磁波的横波特性，又能在单光子层面直接充当二能级量子比特。理解偏振态，需要同时握住两条线索：一条是经典电磁波中电场矢量随时间演化的几何图像，另一条是量子信息中二维希尔伯特空间里的态矢量与测量算符。本节从这两条线索出发，建立琼斯矢量与庞加莱球的表示方法，并说明偏振态制备与测量在量子信息中的典型任务。

一、从经典电磁波到偏振：电场矢量的轨迹

考虑一束沿 z 方向传播的准单色平面波，其电场可写成两个正交分量的叠加：

E(z,t) = Ex·cos(kz − ωt + φx) x̂ + Ey·cos(kz − ωt + φy) ŷ

这里 Ex、Ey 是两个正交方向上的振幅，φx、φy 是各自的初相位。固定 z=0 观察电场矢量端点在一个光学周期内的轨迹，就得到偏振的几何定义：当 φx−φy = 0 或 π 时，轨迹退化为一条直线，称为线偏振；当 Ex = Ey 且 φx−φy = ±π/2 时，轨迹是一个圆，称为圆偏振；其余一般情形下轨迹为椭圆，即椭圆偏振。因此，偏振态的全部信息由振幅比 Ey/Ex 与相位差 Δφ = φy−φx 这两个参数决定，它们共同构成一个二维复空间中的方向。

需要先约定参照系：本文取光沿 +z 传播，x̂、ŷ 为实验室横向正交基，相位差定义为 Δφ = φy − φx。若改用其他约定，琼斯矢量与庞加莱球上的方位会相应改变，但物理结论不变。全文与图示保持这一约定。

二、琼斯矢量：偏振态的复二维表示

把两个正交分量写成复振幅，偏振态就对应一个二维复列矢量，即琼斯矢量：

J = [ Ex·e^{iφx} , Ey·e^{iφy} ]^T

由于整体相位不改变偏振态，通常把琼斯矢量归一化，并固定一个参考相位。几个常用基矢如下（归一化后）：

• 水平线偏振：J_H = [1, 0]^T
• 垂直线偏振：J_V = [0, 1]^T
• 对角偏振：J_D = (1/√2)[1, 1]^T
• 反对角偏振：J_A = (1/√2)[1, −1]^T
• 右旋圆偏振：J_R = (1/√2)[1, i]^T
• 左旋圆偏振：J_L = (1/√2)[1, −i]^T

琼斯矢量是经典描述，但它与量子力学中单光子偏振态的形式完全同构：把 [1,0]^T 记作 |H⟩，[0,1]^T 记作 |V⟩，任意偏振态就是 |ψ⟩ = α|H⟩ + β|V⟩，其中 |α|² + |β|² = 1。α、β 为复概率幅，|α|² 与 |β|² 分别是在 H、V 基下测得对应结果的概率。于是，经典电磁波的振幅比与相位差，直接对应量子比特的布洛赫球坐标。

三、庞加莱球：把偏振态放到球面上

琼斯矢量有两个复参数，扣除整体相位后剩两个实参数，正好可以映射到一个单位球面上，这就是庞加莱球。定义三个斯托克斯参数：

S0 = |Ex|² + |Ey|²
S1 = |Ex|² − |Ey|²
S2 = 2·Re(Ex*·Ey)
S3 = 2·Im(Ex*·Ey)

归一化后 (S1, S2, S3)/S0 就是球面上的单位矢量。球面北极对应右旋圆偏振，南极对应左旋圆偏振，赤道上的点全部是线偏振；经度 0° 与 180° 分别对应 H 与 V，90° 与 270° 对应 D 与 A。任意椭圆偏振位于球面其他位置，纬度反映椭圆率，经度反映主轴方位。对单光子而言，同一球面就是布洛赫球，S1、S2、S3 对应三个泡利算符的期望值，测量它们等价于在 H/V、D/A、R/L 三组基下做投影测量。

四、偏振态的制备：从光源到目标态

制备偏振态的核心思路是：先获得一个已知的参考偏振，再用波片或相位延迟器改变两个正交分量之间的相位与振幅关系。常见链路是“激光 → 偏振片 → 四分之一波片 → 半波片”。偏振片把光变成线偏振，四分之一波片引入 π/2 相位差，半波片则旋转偏振方向。若要把水平偏振变成右旋圆偏振，可让快轴与水平方向成 45° 放置四分之一波片；若要得到对角偏振，只需把半波片快轴转到 22.5°。

在单光子层面，制备通常借助自发参量下转换产生偏振纠缠光子对，再对其中一个光子做投影测量来“预告”另一个光子的偏振态。例如，用 β-硼酸钡晶体在 405 nm 泵浦下产生 810 nm 光子对，若对闲置光子投影到 |D⟩，则信号光子被制备到 |D⟩。这种“预告式制备”是量子信息实验中产生任意单光子偏振态的常用手段。

五、偏振态的测量：三组基与层析

测量偏振态的基本操作是投影测量。用偏振分束器把 H 与 V 分量分开，再用单光子探测器计数，就实现了 H/V 基测量。要测 D/A 基，可在偏振分束器前加一片快轴 22.5° 的半波片；要测 R/L 基，则加一片快轴 45° 的四分之一波片。三组基各测一次，得到六个计数，就能重建斯托克斯参数：

S1 ∝ (N_H − N_V) / (N_H + N_V)
S2 ∝ (N_D − N_A) / (N_D + N_A)
S3 ∝ (N_R − N_L) / (N_R + N_L)

若需要完整刻画一个未知偏振态，则要做量子态层析：在 H/V、D/A、R/L 三组基下分别测量，用最大似然估计拟合出密度矩阵 ρ。判断制备是否成功，可以看保真度 F = ⟨ψ|ρ|ψ⟩，通常要求 F 大于 0.95 才认为态制备合格。若保真度偏低，常见原因是波片角度偏差、相位延迟不准确或背景计数过高，需要逐一排查。

六、在量子信息中的典型任务

偏振态在量子信息中承担三类典型任务。第一类是量子密钥分发，如 BB84 协议用 H/V 与 D/A 两组共轭基编码比特，窃听者若选错基就会引入误码，通信双方通过误码率判断是否安全。第二类是纠缠分发与贝尔不等式检验，用偏振纠缠态测量 CHSH 组合量，若 S 值超过 2 就说明存在非局域关联。第三类是量子逻辑门与态操控，用波片组合实现任意单量子比特旋转，用偏振分束器与相位延迟实现受控门。这些任务的共同前提，都是能稳定制备并准确测量偏振态。