3. 量子力学对贝尔不等式的违背

上一节我们把CHSH组合量写成 S = E(a,b) − E(a,b′) + E(a′,b) + E(a′,b′)，并指出局域隐变量理论要求 |S| ≤ 2。本节要回答的是：量子力学给出的 E(a,b) 究竟等于多少？把量子力学的关联函数代进去，S 最大能到多少？这个上限就是Tsirelson界 2√2 ≈ 2.828，它比经典界2高出约41%，是量子非局域性最直接的定量标志。

一、关联函数的量子力学定义

先统一约定。设两个自旋1/2粒子处于自旋单态（singlet态）：

|ψ⁻⟩ = (1/√2)(|↑⟩_A|↓⟩_B − |↓⟩_A|↑⟩_B)

Alice沿单位方向 a 测量自旋，Bob沿单位方向 b 测量自旋。自旋算符为 σ·a（取 ħ/2=1 的单位化写法），测量结果为 ±1。关联函数定义为联合测量结果乘积的期望值：

E(a,b) = ⟨ψ⁻| (σ_A·a) ⊗ (σ_B·b) |ψ⁻⟩

对自旋单态，直接计算可得一个极其简洁的结果：

E(a,b) = −a·b = −cos θ_ab

其中 θ_ab 是 a 与 b 之间的夹角。这个负号来自单态的反关联特性：当 a = b 时 E = −1，即两人沿同一方向测量必然得到相反结果；当 a ⊥ b 时 E = 0，结果完全无关联。若改用偏振纠缠态（如 |Φ⁺⟩ = (|HH⟩+|VV⟩)/√2），关联函数变为 E(a,b) = cos 2(α−β)，其中 α、β 是偏振片透振方向角，系数2来自光子自旋为1、偏振旋转周期为π。两种情形的代数结构相同，下面以自旋单态为主推导，偏振情形只需把角度做相应替换。

二、把关联函数代入CHSH组合

取四个测量方向共面，设 a 与 b 夹角为 θ，并采用最常用的最优配置：

a  = 0°
a′ = 90°
b  = 45°
b′ = 135°

代入 E = −cos θ：

E(a, b)   = −cos(0°−45°)   = −cos45°  = −0.7071
E(a, b′)  = −cos(0°−135°)  = −cos135° = +0.7071
E(a′, b)  = −cos(90°−45°)  = −cos45°  = −0.7071
E(a′, b′) = −cos(90°−135°) = −cos45°  = −0.7071

于是

S = E(a,b) − E(a,b′) + E(a′,b) + E(a′,b′)
  = (−0.7071) − (0.7071) + (−0.7071) + (−0.7071)
  = −2.8284

取绝对值 |S| = 2√2 ≈ 2.828，明显超过经典上限2。注意符号约定：若把 E = −a·b 换成 E = +a·b（例如改用三重态或改变组合量中某项的符号），S 会整体变号，但 |S| 不变，物理结论一致。实验中通常报告 |S| 或 S 的绝对值，并说明所用组合量的符号定义。

三、Tsirelson界的推导思路

为什么量子力学的上限恰好是 2√2 而不是更大？关键在于量子力学中不同方向的测量算符不对易。定义算符 A = σ·a、A′ = σ·a′、B = σ·b、B′ = σ·b′，它们都满足平方为恒等算符：A² = A′² = B² = B′² = I。CHSH算符可写成

𝒮 = A⊗B − A⊗B′ + A′⊗B + A′⊗B′

利用 𝒮² = 4I + [A,A′]⊗[B,B′] 这一恒等式（可通过展开并利用各算符平方为I验证），再结合对易子范数的不等式 ‖[A,A′]‖ ≤ 2、‖[B,B′]‖ ≤ 2，可得 ‖𝒮²‖ ≤ 8，从而 |⟨𝒮⟩| ≤ 2√2。这就是Tsirelson界。它的物理含义是：量子关联虽然超越经典，但仍受希尔伯特空间算符代数结构的约束，不能任意强。若允许更一般的“无信号”概率分布（Popescu-Rohrlich盒），CHSH值可达4，但那样的关联无法由量子力学实现。

四、最大违背角的一般化

上面取的是45°等间隔配置。更一般地，若四个方向共面且相邻夹角依次为 θ₁、θ₂、θ₃，则

S(θ₁,θ₂,θ₃) = −cosθ₁ + cos(θ₁+θ₂) − cos(θ₂+θ₃) − cos(θ₃)

对 θ₁、θ₂、θ₃ 求极值，可解出最优条件为 θ₁ = θ₃ = 45°、θ₂ = 90°，此时 |S| = 2√2。这说明最大违背不是某个特殊方向的巧合，而是共面等间隔配置下的普遍最优解。实验中若角度存在偏差，|S| 会下降：例如 θ₂ 偏离90°达5°，|S| 约降至2.79，仍高于2，但统计显著性会受影响，因此角度标定精度直接决定违背判定的可信度。

五、从公式到实验数据：如何判断违背

实验上不能直接“读出” E(a,b)，而是通过大量事件统计估计。以偏振纠缠光子对为例，对每一组角度配置 (a,b)，记录符合计数：同向符合 N_++、N_−−，反向符合 N_+−、N_−+，则

E(a,b) = (N_++ + N_−− − N_+− − N_−+) / (N_++ + N_−− + N_+− + N_−+)

假设某次教学模拟实验在四组角度下各累计约10000对符合事件，得到如下示例数据（属合理假设，非实测）：

代入组合量得 S ≈ −2.828，|S| ≈ 2.828，与Tsirelson界几乎重合。实际实验中由于光学元件不完美、背景计数、探测器效率不匹配等，|S| 通常落在2.6～2.8之间，但只要显著大于2，就构成对局域隐变量的排除。判断“显著”需要计算不确定度：若每组计数约10⁴，E 的统计误差约为 1/√N ≈ 0.01，S 的合成误差约0.02，则 |S| = 2.828 ± 0.02，距经典界2有约40个标准差，违背判定非常稳固。

六、偏振情形与自旋情形的对应

若实验对象是偏振纠缠光子，关联函数为 E(α,β) = cos 2(α−β)（对 |Φ⁺⟩ 态）。此时最优角度配置变为 α=0°、α′=45°、β=22.5°、β′=67.5°，相邻夹角为22.5°，代入后同样得到 |S| = 2√2。角度减半的原因是偏振测量的旋转周期为π而非2π。理解这一对应关系后，无论面对自旋中子、超导量子比特还是光子偏振实验，都可以用同一套CHSH代数框架处理，只需替换关联函数中的角度映射。

总结本节的核心结论：量子力学关联函数 E(a,b) = −a·b 代入CHSH组合后，在45°等间隔配置下给出 |S| = 2√2，严格超过经典界2，但不超过Tsirelson界 2√2。这一数值既是量子非局域性的定量标志，也是所有贝尔实验判定“是否违背”的基准线。