📚 课程目录第3章正交分量与相空间表示

3. 正交分量与相空间表示

在压缩光的研究中，仅用光子数或场强来描述量子态是不够的。单模光场的量子涨落分布在两个共轭物理量上，它们不能同时被无限精确地确定。为了定量刻画这种分布，我们需要引入正交振幅算符与正交相位算符，并把量子态放到一个二维相空间中观察。相空间图、Wigner函数以及压缩态在相空间中的几何形状，构成了理解压缩光产生与探测的共同语言。

一、正交振幅与相位算符的定义

设单模光场的湮灭算符为 \(\hat{a}\)，满足 \([\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1\)。定义两个厄米算符：

X̂₁ = (â + â†)/2      （正交振幅算符）
X̂₂ = (â − â†)/(2i)   （正交相位算符）

它们满足对易关系 \([\hat{X}_1,\hat{X}_2]=i/2\)，因此存在不确定性关系：

ΔX₁ · ΔX₂ ≥ 1/4

这里 \(\Delta X_i\) 表示对应算符的标准差。对于相干态（包括真空态），两个正交分量的方差相等，均为 \(1/4\)，即 \(\Delta X_1=\Delta X_2=1/2\)，称为散粒噪声极限。压缩态则打破这种对称：一个正交分量的方差被压到 \(1/4\) 以下，另一个分量相应增大，但乘积仍满足不确定性关系。

约定：本文采用 \(\hbar=1\) 的单位制，且正交分量按上述定义归一化，使真空态两个分量的方差均为 \(1/4\)。若采用其他归一化（如 \(X̂=(â+â†)/\sqrt{2}\)），数值会不同，但物理结论一致。

二、相空间图与Wigner函数

相空间是以 \(X_1\) 为横轴、\(X_2\) 为纵轴的二维平面。一个量子态在相空间中不能用一个点表示，而要用一个准概率分布——Wigner函数 \(W(X_1,X_2)\) 来描述。Wigner函数是实函数，可正可负，其边缘分布分别给出 \(X_1\) 和 \(X_2\) 的概率密度：

∫ W(X₁,X₂) dX₂ = P(X₁)
∫ W(X₁,X₂) dX₁ = P(X₂)

对于真空态和相干态，Wigner函数是二维高斯分布，在相空间中呈圆形，圆心位于相干振幅 \((\langle X_1\rangle,\langle X_2\rangle)\)，半径由方差决定。对于压缩态，Wigner函数仍是高斯分布，但圆形被“压扁”成椭圆：噪声小的方向对应椭圆短轴，噪声大的方向对应椭圆长轴。椭圆的面积由不确定性关系下限决定，压缩并不会违反量子力学。

三、压缩态在相空间中的几何表示

压缩态可由压缩算符 \(\hat{S}(r,\theta)=\exp[\frac{r}{2}(\hat{a}^2 e^{-i2\theta}-\hat{a}^{\dagger2}e^{i2\theta})]\) 作用于真空态产生。其中 \(r\) 是压缩因子，\(\theta\) 是压缩角，决定椭圆短轴的方向。压缩后两个正交分量的方差为：

ΔX₁² = (1/4)(e^{-2r}cos²θ + e^{2r}sin²θ)
ΔX₂² = (1/4)(e^{-2r}sin²θ + e^{2r}cos²θ)

当 \(\theta=0\) 时，\(X_1\) 方向被压缩，\(\Delta X_1^2=\frac14 e^{-2r}\)，\(\Delta X_2^2=\frac14 e^{2r}\)。以 \(r=1\)（约8.7 dB压缩）为例，\(\Delta X_1^2\approx0.034\)，\(\Delta X_1\approx0.184\)，远低于真空噪声 \(0.5\)；而 \(\Delta X_2\approx1.36\)，噪声被放大。在相空间图上，这表现为一个沿 \(X_1\) 方向拉长、沿 \(X_2\) 方向压扁的椭圆。

图中虚线圆代表真空态噪声分布，实线椭圆代表压缩态。椭圆短轴方向噪声低于真空，长轴方向高于真空，椭圆面积与真空圆面积相同，体现不确定性关系下限的守恒。压缩角 \(\theta\) 改变时，椭圆整体旋转，但形状不变。

四、从相空间图到实际测量

在实验上，平衡零拍探测（Balanced Homodyne Detection）正是测量正交分量的标准手段。本地振荡光（LO）的相位 \(\varphi\) 决定所测的正交分量：

X̂(φ) = X̂₁ cosφ + X̂₂ sinφ

当 \(\varphi=0\) 时测 \(X_1\)，当 \(\varphi=\pi/2\) 时测 \(X_2\)。扫描 LO 相位，就能重建出相空间中的噪声椭圆。若在 \(\varphi=0\) 处测得噪声低于散粒噪声极限，而在 \(\varphi=\pi/2\) 处高于散粒噪声极限，且两者乘积回到真空水平，就说明观察到了压缩。实际判断时，通常以散粒噪声为0 dB基准，压缩度定义为 \(10\log_{10}(\Delta X_1^2/\Delta X_{\text{vac}}^2)\)，负值表示压缩。

示例：若测得 \(\Delta X_1^2=0.05\)，真空方差为 \(0.25\)，则压缩度为 \(10\log_{10}(0.05/0.25)=10\log_{10}(0.2)\approx-7\) dB。同时应检查反压缩分量是否约为 \(0.25/0.05=5\) 倍真空方差，以确认没有额外损耗破坏不确定性关系。

需要特别注意的是，实际压缩态往往伴随损耗。损耗会把压缩椭圆向真空圆“拉回”，使短轴变长、长轴变短，压缩度下降。因此，在相空间图上观察到的椭圆越接近圆形，说明损耗越大或压缩越弱。判断压缩是否有效，不能只看一个方向的噪声降低，还要确认共轭方向的噪声升高与乘积关系是否合理。

五、小结与要点

正交振幅 \(X_1\) 与正交相位 \(X_2\) 是一对共轭算符，满足 \([\hat{X}_1,\hat{X}_2]=i/2\)，方差乘积不低于 \(1/4\)。
相空间以 \(X_1\)、\(X_2\) 为坐标，Wigner函数描述量子态分布；真空态为圆形高斯，压缩态为椭圆形高斯。
压缩因子 \(r\) 决定椭圆长短轴比例，压缩角 \(\theta\) 决定椭圆取向；短轴方向噪声低于真空，长轴方向高于真空。
平衡零拍探测通过扫描 LO 相位测量不同正交分量，可重建噪声椭圆并判断压缩度。
损耗会使压缩椭圆趋近圆形，压缩度下降；判断时需同时检查压缩与反压缩两个方向。