2. 量子光学基础回顾

在进入压缩光的具体讨论之前，需要把量子光学中最基础的几个概念重新梳理一遍。压缩光的本质，是把某个正交分量的量子噪声“挤压”到低于真空涨落水平，而这一操作之所以可能，完全依赖于电磁场的量子化描述、算符对易关系以及不确定性原理。如果这些基础不牢，后面看到“压缩”“反压缩”“真空压缩”等术语时，很容易只记住结论而无法判断其物理合理性。

一、电磁场量子化：从经典振幅到算符

经典电磁理论中，单模电场可以写成随时间振荡的实函数。量子化的做法是把这一模式的两个正交振幅提升为算符。对频率为 ω 的单模场，电场算符可写为

E(t) = E₀ [ X̂₁ cos(ωt) + X̂₂ sin(ωt) ]

其中 E₀ 是每光子场强标度，X̂₁ 与 X̂₂ 是两个正交振幅算符，分别对应余弦分量和正弦分量。它们不是普通数，而是满足对易关系的算符。若用产生算符 ↠和湮灭算符 â 表示，则

X̂₁ = (â + â†)/2
X̂₂ = (â − â†)/(2i)

这里采用 â 与 ↠的对易关系 [â, â†] = 1。由此可直接推出两个正交振幅算符的对易关系：

[X̂₁, X̂₂] = i/2

这个结果非常关键：两个正交分量不能同时具有确定值。若把噪声方差记为 Δ²X₁ 和 Δ²X₂，则它们必须满足不确定性关系

Δ²X₁ · Δ²X₂ ≥ 1/16

真空态下，两个正交分量噪声相等，均为 Δ²X₁ = Δ²X₂ = 1/4，乘积正好等于 1/16，因此真空态是最小不确定态。压缩光要做的事情，就是让其中一个方差小于 1/4，同时让另一个方差大于 1/4，但乘积仍不低于 1/16。这就是“压缩”一词的严格含义。

二、光子数态与相干态

光子数态 |n⟩ 是粒子数算符 N̂ = â†â 的本征态，满足 N̂|n⟩ = n|n⟩。在光子数态中，光子数完全确定，但相位完全不确定。对于 n = 0 的真空态 |0⟩，电场期望值为零，但方差不为零，这正是真空涨落的来源。真空并非“什么都没有”，而是存在无法消除的量子噪声。

相干态 |α⟩ 由位移算符作用于真空态得到，是激光场最接近的量子描述。它满足 â|α⟩ = α|α⟩，其中 α 为复数，可写成 α = |α|e^{iθ}。相干态的光子数服从泊松分布，平均光子数 n̄ = |α|²，方差也为 n̄。它的两个正交分量噪声与真空态相同，均为 1/4，因此相干态属于最小不确定态，但噪声在相空间中呈各向同性圆斑。

这里需要区分两个容易混淆的概念：光子数涨落和正交分量噪声不是一回事。相干态的光子数涨落为 √n̄，而正交分量噪声始终是真空水平 1/4。压缩光改变的是正交分量噪声分布，而不是简单地改变平均光子数。

三、真空涨落与相空间图像

把 X̂₁ 和 X̂₂ 作为两个坐标轴，可以画出相空间中的噪声分布。真空态和相干态都表现为一个圆斑，半径对应标准差 1/2。压缩态则表现为椭圆：短轴方向方差小于 1/4，长轴方向方差大于 1/4。若短轴方差为 e^{−2r}/4，长轴方差为 e^{2r}/4，则 r 称为压缩参量，单位为无量纲。r = 1 时，短轴噪声约为真空的 13.5%，即约 −8.7 dB；r = 1.5 时约 −13 dB。实际实验中，连续变量压缩光常见压缩度在 3～10 dB 范围，具体取决于损耗、探测效率和系统稳定性。

四、算符对易关系与不确定性原理的物理含义

对易关系 [X̂₁, X̂₂] = i/2 不是数学装饰，它直接决定了噪声分配的下限。若两个算符对易，则它们可以同时具有确定值，噪声乘积可以趋于零；正因为它们不对易，才存在 1/16 这个不可突破的乘积下限。压缩光并没有违反不确定性原理，而是在满足该原理的前提下，把噪声从一个分量转移到另一个分量。

在实际测量中，平衡零拍探测（balanced homodyne detection）正是用来测量任意正交分量组合的。通过改变本地振荡光与本振信号的相对相位 φ，可以测量 X̂_φ = X̂₁ cosφ + X̂₂ sinφ。当 φ = 0 时测 X̂₁，φ = π/2 时测 X̂₂。扫描 φ 并记录噪声方差，就能得到相空间中的噪声椭圆。若在某个 φ 处测得噪声低于真空基准 3 dB 以上，且共轭相位处噪声高于真空基准，即可判断存在压缩。真空基准通常通过遮挡信号光、只保留本振光来标定。

五、从基础到压缩光的逻辑衔接

把上述内容串起来：电磁场量子化给出正交振幅算符；对易关系给出不确定性下限；真空态和相干态给出基准噪声 1/4；压缩操作则通过非线性过程（如参量下转换）产生压缩态，使噪声椭圆在某一方向被压扁。后续章节中讨论的压缩度、探测效率、损耗影响和测量方法，都建立在这几个基本关系之上。理解这些基础，才能在看到实验数据时判断压缩是否合理、损耗是否过大、测量是否可信。

表中 r 为压缩参量，r > 0 表示 X̂₁ 被压缩、X̂₂ 被反压缩。压缩真空态的平均光子数为 sinh²r，压缩相干态则在相干态基础上叠加压缩。实际实验中，由于探测效率 η < 1 和传输损耗，测得的压缩度会下降，近似满足 Δ²X₁^{meas} = η e^{−2r}/4 + (1−η)/4。当 η = 0.9、r = 1 时，理论压缩约 −8.7 dB，实测约 −6.5 dB 左右。这一估算方式在后续评估实验系统时非常常用。