4. 片上干涉网络的核心单元
片上干涉网络本质上是一张由若干基本光学单元互连而成的线性网络。要预测网络输出、设计相位关系、评估损耗与串扰，必须把每个物理器件抽象成可计算的数学对象。本节围绕四类核心单元——分束器、移相器、延迟线、谐振腔——说明它们的传递函数、散射矩阵（S 矩阵）以及酉矩阵建模方法，并给出可直接用于链路预算的示例参数。
一、为什么用散射矩阵描述片上单元
在片上波导网络中，光以导模形式在端口间传播。对任意一个多端口器件，定义入射波复振幅向量 a 与出射波复振幅向量 b，则 b = S·a。S 矩阵元素 S_ij 表示从端口 j 入射、在端口 i 出射的复传输系数，其模为幅度、辐角为相位。理想无损耗互易器件满足 S†S = I，即 S 为酉矩阵；有损耗时 S†S ≤ I，可用奇异值或额外损耗因子修正。参照约定：本文所有相位以弧度表示，端口编号按“左进右出、上臂为 1、下臂为 2”统一，方向定义在全文与图示中保持一致。
二、分束器：从 2×2 到多端口
最常用的定向耦合器（DC）与多模干涉器（MMI）均可写成 2×2 酉矩阵。理想 3 dB 耦合器在交叉相位约定下为：
S_DC = (1/√2) * [[1, j],
[j, 1]]
若采用“直通臂无附加相位、交叉臂附加 π/2”的约定，则 S_21 = S_12 = j/√2。分束比 k 可调时，幅度为 √k 与 √(1−k)，例如 k=0.7 时直通幅度约 0.837、交叉幅度约 0.548。MMI 的 S 矩阵形式相同，但相位关系由成像位置决定，常见 2×2 MMI 为 [[1, j],[j, 1]]/√2。多端口 MMI 可写成 N×N 酉矩阵，其元素幅度近似 1/√N，相位由输出相位关系表给出。
三、移相器：传递函数与相位模型
热光或电光移相器是单端口对（2 端口）器件，理想传递函数为 H(φ) = exp(jφ)，S 矩阵为 [[0, e^{jφ}],[e^{jφ}, 0]]。实际器件存在插损 α 与相位误差 Δφ，可写为 H = 10^{−α/20}·exp(j(φ+Δφ))。热光移相器典型功耗约 20 mW 对应 π 相移，电光移相器约 1–5 V·mm 对应 π 相移。建模时把 φ 作为可调参数，其余作为固定损耗与误差项。
四、延迟线：频域传递函数
波导延迟线长度 L、群折射率 n_g，则时延 τ = n_g·L/c，频域传递函数 H(ω) = exp(−jωτ)，同时叠加传播损耗 exp(−αL/2)。例如 n_g=4.2、L=1 mm 时 τ≈14 ps，对应自由光谱范围约 71 GHz。延迟线在干涉网络中用于相位补偿与相干延迟匹配，其 S 矩阵为对角形式 diag(e^{−jωτ1}, e^{−jωτ2})。
五、谐振腔：传递函数与耦合矩阵
环形谐振腔由耦合区与反馈波导构成。全通型（all-pass）传递函数为：
H(ω) = (t − a·e^{−jθ}) / (1 − t·a·e^{−jθ})
其中 t 为自耦合系数，a 为环内单圈损耗因子，θ=ωT 为单圈相移。临界耦合时 t=a，谐振处输出为零。上传/下载型（add-drop）可写成 4×4 或 2×2 分块 S 矩阵，耦合区用 2×2 耦合器矩阵，环内传播用对角延迟矩阵，二者级联即得整体 S 矩阵。
六、酉矩阵建模与级联方法
把每个单元写成 S 矩阵后，网络整体响应通过级联与连接运算得到。两器件级联时，若中间端口完全匹配，整体 S 矩阵可由分块矩阵运算求得；更通用的方法是构造全局端口连接矩阵 Γ，求解 b = S·a 与端口约束 a = Γ·b + a_in，得到 b = (I − S·Γ)^{−1}·S·a_in。对无损耗网络，整体 S 仍为酉矩阵，可用于验证能量守恒。实际建模中，先给每个单元赋 S 矩阵，再按拓扑连接，最后检查 S†S 与单位矩阵的偏差，偏差小于 1e−3 可认为模型自洽。
七、建模流程与示例参数
实际建模可按以下顺序执行：第一步，确定每个单元的端口数与相位约定；第二步，写出各单元 S 矩阵，分束器用耦合系数 k、移相器用 φ、延迟线用 τ、谐振腔用 t 与 a；第三步，按拓扑构造连接矩阵 Γ；第四步，求解整体 S 并检查酉性；第五步，扫描关键参数观察输出幅度与相位变化。以 2×2 MZI 为例，两臂各接一个移相器 φ1、φ2，输入 3 dB 分束器，输出 3 dB 分束器，则输出端口 1 的幅度为 cos((φ1−φ2)/2)，端口 2 为 sin((φ1−φ2)/2)。当 φ1−φ2=0 时全部从端口 1 输出，当差值为 π 时全部从端口 2 输出，这正是干涉网络最基本的开关与调制关系。