3. 经典神经网络到量子神经网络的映射

经典神经网络的核心计算单元是“加权求和 + 非线性激活”：给定输入向量 x 与权重矩阵 W，先算 z = Wx + b，再经 σ(z) 得到输出。量子神经网络（QNN）并不是把这套公式原样搬到量子计算机上，而是把“可训练参数”和“数据”都编码进量子态的演化过程，用参数化量子线路（PQC）承担“可学习变换”的角色。理解这一映射，是后续建模与优化的前提。

一、参数化量子线路：可训练参数的物理载体

PQC 由若干量子门按固定拓扑排列而成，其中一部分门的旋转角是可变参数 θ，另一部分门（如 CNOT、CZ）负责制造纠缠。典型结构是“数据编码层 + 可训练层”交替堆叠：

|ψ(θ, x)⟩ = U_L(θ_L) · U_enc(x) · … · U_1(θ_1) · U_enc(x) |0⟩^⊗n

其中 U_enc(x) 把经典数据 x 映射为量子门角度（角度编码、振幅编码等），U_i(θ_i) 是含参旋转层。与经典权重矩阵不同，这里的“参数”是旋转角，作用在复数振幅上，因此输出是概率分布或期望值，而非直接的实数向量。

二、量子神经元：从加权求和到受控旋转

经典神经元对输入做线性组合后激活。量子神经元的常见建模方式是：把输入编码到控制量子比特，把可训练参数编码到目标量子比特的旋转角，通过受控旋转实现“输入—参数”的相互作用。以单量子比特为例，一个量子神经元可写成：

R_y(θ) · R_y(x) |0⟩ → 测量得到 ⟨Z⟩ = cos(θ + x)

这里 θ 是可训练参数，x 是输入特征，测量期望值 ⟨Z⟩ 充当该神经元的输出。可以看到，量子神经元天然带有非线性（三角函数形式），无需额外设计激活函数；但它的输出范围被限制在 [-1, 1]，且多次测量会引入统计噪声，这是与经典神经元最本质的差异。

三、量子层与前向传播：把单神经元组织成网络

量子层由多个量子神经元并行组成，通常表现为“旋转层 + 纠缠层”的重复结构。旋转层对每个量子比特施加含参旋转，纠缠层用 CNOT 链或环形连接把各比特关联起来。前向传播就是按线路顺序依次施加门操作，最后对指定量子比特测量，得到期望值向量作为该层输出。

与经典前向传播相比，量子前向传播有三个关键区别：其一，中间态不可直接读取，只能通过测量获得统计结果；其二，参数更新依赖对期望值的梯度估计（如参数移位规则）；其三，线路深度受退相干限制，不能无限堆叠。因此建模时必须在表达能力与可执行性之间权衡。

四、建模思想：映射中的三个关键决策

把经典网络映射为量子网络时，需要明确三个决策点。第一是编码方式：角度编码简单但需要归一化，振幅编码节省量子比特但制备代价高；第二是纠缠拓扑：全连接纠缠表达力强但深度大，线性链或环形连接更适合近期含噪设备；第三是测量策略：只测单个比特还是测多个比特的联合期望值，直接决定输出维度与梯度估计的复杂度。

以四量子比特、两层旋转加一层纠缠的示例线路为例，若每层旋转含 4 个参数，则总可训练参数为 8 个；输入特征 4 维经角度编码进入线路，测量 4 个 ⟨Z⟩ 得到 4 维输出。这个规模在模拟器上可快速验证，也适合作为理解映射关系的最小工作示例。需要强调的是，上述参数数量与输出维度属于教学示例设定，实际建模时应根据任务复杂度与硬件约束调整。