2. 量子计算基础速览
量子神经网络（QNN）的建模与优化，最终都要落到量子线路这一层。若把 QNN 看作“带参数的量子线路 + 经典优化器”，那么量子比特、叠加、纠缠、测量、量子门与量子线路就是它的全部基本词汇。本节不追求量子力学的完整形式体系，而是建立一套后续建模可直接使用的符号与运算基础：哪些量可以调、哪些量会被测量破坏、哪些结构能产生表达能力。
量子比特：从比特到二维复向量
经典比特只有 0 或 1 两个取值。量子比特（qubit）的状态是一个二维复向量，写作狄拉克符号：
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, α, β ∈ ℂ, |α|² + |β|² = 1其中 |0⟩ = [1, 0]ᵀ，|1⟩ = [0, 1]ᵀ 是计算基。α、β 称为概率幅，是复数；|α|² 与 |β|² 分别是测量得到 0 和 1 的概率。这一点对 QNN 建模至关重要：可训练参数通常以角度形式进入量子门，而门作用在概率幅上，因此参数对输出的影响是“幅值层面”的，而非经典网络中的加权求和。
单量子比特状态也可用布洛赫球表示：|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ}sin(θ/2)|1⟩。θ 决定 0/1 的偏向，φ 是相对相位。相对相位不改变单比特测量概率，却会在后续门与纠缠中转化为可观测的干涉效应——这正是量子线路表达能力的来源之一。
叠加与纠缠：两种不同的“并行”
叠加指一个量子比特同时处于 |0⟩ 与 |1⟩ 的线性组合。对 n 个量子比特，若各自处于叠加态，联合态可写成 2ⁿ 个基态的线性组合，例如 H 门作用在 |00⟩ 上得到 (|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)/2。需要强调：叠加不是“同时算出 2ⁿ 个结果再挑一个”，测量时只能得到一个基态，概率由幅值平方决定。
纠缠是比叠加更强的关联。以贝尔态为例：
|Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2它不能写成两个单比特状态的张量积。测量第一个比特得 0，第二个必为 0；得 1，第二个必为 1。这种关联与“事先约定好”的经典关联不同，它由幅值的非因子化结构产生。在 QNN 中，纠缠层（如 CNOT 链）负责把各量子比特的特征耦合起来，缺少纠缠的线路往往退化为若干独立单比特模型的拼接，表达能力受限。
测量：把量子态变成经典数据
测量是量子线路与经典世界之间的唯一接口。对 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 做计算基测量，得到 0 的概率为 |α|²，得到 1 的概率为 |β|²，测量后状态坍缩到对应基态。多比特情形下，测量结果是一个比特串，概率由该基态幅值的模平方给出。
QNN 的典型输出是期望值：对同一线路重复制备与测量 N 次（shots），用 ⟨Z⟩ ≈ (n₀ − n₁)/N 估计 Pauli-Z 期望。例如 N = 4096、n₀ = 3072、n₁ = 1024，则 ⟨Z⟩ ≈ 0.5。shots 越大统计误差越小，但线路执行次数也越多，这是 QNN 训练成本的主要来源之一。测量不可逆，因此不能把中间测量结果再“喂回”同一线路继续相干演化——除非使用经典前馈或中线路测量等更复杂机制。
量子门：作用在幅值上的酉变换
量子门是作用在量子态上的酉矩阵 U（U†U = I），保证概率守恒。常用单比特门包括：
- X 门：比特翻转，X|0⟩ = |1⟩，类似经典 NOT。
- H 门：H|0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2，制造叠加。
- RZ(θ)：diag(e^{−iθ/2}, e^{iθ/2})，只改相对相位，是变分线路中最常用的可训练门之一。
- RX(θ)、RY(θ)：绕 X、Y 轴旋转，会改变测量概率，也常作为可训练门。
两比特门以 CNOT 为代表：控制比特为 1 时翻转目标比特。CNOT 与单比特门组合可产生纠缠，是构建纠缠层的核心。任何多比特酉变换都可分解为单比特门与 CNOT 的序列，这为线路设计提供了通用性保证。
量子线路：QNN 的骨架
量子线路按时间从左到右排列：左侧是初态（通常全为 |0⟩），中间是门序列，右侧是测量。一个典型的变分线路（ansatz）结构为：
|0⟩ ── H ── RY(θ₁) ──●── RZ(θ₃) ── M
|0⟩ ── H ── RY(θ₂) ──X── RZ(θ₄) ── M其中 θ₁…θ₄ 是可训练参数，H 层负责初始化叠加，CNOT 负责纠缠，RZ/RY 负责参数化旋转，M 表示测量。训练时，经典优化器根据测量得到的期望值计算损失，更新 θ，再重新执行线路。理解这条“参数 → 门 → 态 → 测量 → 损失 → 参数更新”的闭环，是后续 QNN 建模与优化的前提。
把上图读成一句话：参数 θ 进入量子门，门改变概率幅，测量把幅值变成经典统计量，损失函数据此计算，优化器再更新 θ。后续章节讨论的梯度估计、参数初始化、线路深度与噪声，都是围绕这条闭环展开的。