3. 量子门与量子线路基础

量子数据编码与特征映射最终都要落到量子线路上去执行。线路由量子门按时间顺序排列而成，门决定了量子态如何被旋转、纠缠和读出。理解单比特门、多比特门、受控操作以及线路构建规则，是后续把经典特征写进量子态、再设计可训练线路的操作基础。本节从“门是作用在态上的酉变换”这一视角出发，逐步建立可动手搭建线路的能力。

一、单比特门：在布洛赫球上做旋转

单比特门作用在一个量子比特的二维态空间上，数学上是一个 2×2 酉矩阵。最常用的三类是泡利门 X、Y、Z，相位门 S、T，以及旋转门 Rx、Ry、Rz 和通用门 U。它们对计算基态的作用可以这样理解：X 相当于绕 x 轴转 180°，把 |0⟩ 和 |1⟩ 互换；Z 只改变 |1⟩ 的符号，即 |0⟩→|0⟩、|1⟩→−|1⟩；S 和 T 分别是绕 z 轴转 90° 和 45° 的相位门，只影响相对相位，不改变测量概率。

旋转门 Rx(θ)、Ry(θ)、Rz(θ) 是参数化线路的核心。以 Ry(θ) 为例，它把 |0⟩ 变成 cos(θ/2)|0⟩ + sin(θ/2)|1⟩，因此测量得到 |1⟩ 的概率是 sin²(θ/2)。这个关系在特征映射中非常关键：如果要把一个归一化特征 x∈[−1,1] 编码为角度，常取 θ = 2·arcsin(√((x+1)/2)) 或直接 θ = arccos(x)，使振幅携带特征信息。示例中若取 θ = π/2，则 Ry(π/2)|0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2，测量概率各为 0.5；若取 θ = π/3，则 P(1) = sin²(π/6) = 0.25。这些数值是教学示例，用于说明角度与概率的对应，实际线路需按目标编码方式重新计算。

通用单比特门 U(θ, φ, λ) 可写成矩阵形式，通过三个欧拉角覆盖任意单比特酉操作。工程上常把 U 作为可训练参数门，把 θ、φ、λ 作为优化变量。需要注意全局相位不影响测量结果，因此两个只差全局相位的门在物理上等价。

二、多比特门与受控操作

多比特门作用在多个量子比特的联合态空间上，维度随比特数指数增长。最典型的是受控非门 CNOT：它有一个控制位和一个目标位，当控制位为 |1⟩ 时对目标位施加 X，否则不变。CNOT 能把乘积态变成纠缠态，例如 CNOT·(H⊗I)|00⟩ = (|00⟩+|11⟩)/√2，这就是贝尔态。受控操作的一般形式是“控制位满足条件时，对目标位施加某个酉操作 U”，因此受控 Ry、受控 Rz、受控 U 都是常见构件。

另一类重要的多比特门是交换门 SWAP，它交换两个量子比特的态，常用于把信息从一个比特搬到另一个比特。在硬件连接受限时，SWAP 往往由三个 CNOT 组合实现，这会带来额外深度和噪声，因此线路构建时要尽量减少不必要的 SWAP。CZ 门（受控 Z）与 CNOT 可通过目标位前后的 H 门互相转换，很多超导硬件原生支持 CZ，此时把 CNOT 分解为 H–CZ–H 更贴合硬件。

三、线路构建：顺序、并行与测量

量子线路是按时间从左到右排列的门序列，同一列上的门作用在不同比特上，表示并行执行；同一比特上先后出现的门表示串行复合。线路的数学含义是各门矩阵按时间顺序左乘到初态上：若初态为 |ψ₀⟩，依次施加 U₁、U₂、U₃，则末态为 U₃U₂U₁|ψ₀⟩。因此读线路时要从左往右看操作顺序，写矩阵时要从右往左乘。

测量通常放在线路末端，用经典寄存器接收结果。若只关心某个比特的边缘概率，可以对其他比特求偏迹；若需要关联统计，则要保留完整测量结果并做多次采样。线路深度、门数量和两比特门数量是评估线路成本的关键指标，尤其在含噪中等规模量子设备上，两比特门往往是误差主要来源。

示例：用 Qiskit 构建一个含参数的单比特旋转 + CNOT 线路
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Parameter
import numpy as np

theta = Parameter('θ')
qc = QuantumCircuit(2, 2)
qc.ry(theta, 0)      # 在 qubit 0 上做 Ry 旋转，编码特征
qc.cx(0, 1)          # CNOT，控制位 0，目标位 1，产生纠缠
qc.measure([0, 1], [0, 1])

# 绑定示例参数 θ = π/3 后，理论 P(1) 在 qubit 0 上为 sin²(π/6)=0.25
# 实际运行需在模拟器或真机上采样，统计频率作为估计

下面这张图把本节的核心对象放在同一张线路示意中：左侧是单比特旋转门，中间是受控操作，右侧是测量与经典寄存器，并标出控制位、目标位和参数角度的位置关系。

四、从门到可执行线路的检查要点

把门拼成线路后，建议按以下顺序检查，避免“能画出来但跑不对”的情况。第一，确认每个门的比特顺序与硬件拓扑一致，尤其是 CNOT 的控制位和目标位不能写反；第二，确认参数绑定发生在执行之前，未绑定的 Parameter 会导致线路无法提交；第三，确认测量映射到经典寄存器的顺序与后续统计代码一致；第四，估算两比特门数量和线路深度，若深度过大，考虑用等效但更浅的分解或调整比特映射。

掌握这些操作后，就可以把经典特征通过 Ry、Rz 等旋转门编码到量子态，再用 CNOT 等受控操作构造纠缠特征空间。下一阶段的数据编码与特征映射，本质上就是在这套门与线路规则上做参数化和结构设计。