2. 量子比特与量子态表示

在量子数据编码与特征映射工程中，第一步永远是把经典数据“翻译”成量子力学允许描述的对象。经典比特只有 0 和 1 两个取值，而量子比特（qubit）的状态是一个二维复希尔伯特空间中的单位矢量。理解态矢量、密度矩阵与布洛赫球三种表示之间的关系，是后续所有编码方案（基编码、振幅编码、角度编码、IQP 特征映射等）的共同语言基础。

一、态矢量：纯态的复振幅描述

一个量子比特的纯态可写成计算基的线性叠加：

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩,  α, β ∈ ℂ,  |α|² + |β|² = 1

其中 α、β 称为概率幅，|α|² 与 |β|² 分别是测量得到 0 和 1 的概率。注意这里有两个容易混淆的点：其一，振幅是复数，带有相位信息，而概率只取模平方；其二，全局相位 e^{iγ} 不改变任何可观测量，因此 |ψ⟩ 与 e^{iγ}|ψ⟩ 描述同一物理态。真正携带信息的是相对相位，例如 (|0⟩+|1⟩)/√2 与 (|0⟩−|1⟩)/√2 的测量概率完全相同，但前者是 |+⟩、后者是 |−⟩，在后续量子门作用下行为截然不同。

把经典数据映射为态矢量时，最直接的做法是振幅编码：给定归一化向量 x = (x₀, x₁, …, x_{N−1})，令 |ψ⟩ = Σ xᵢ|i⟩。例如经典向量 (0.6, 0.8) 可直接映射为 0.6|0⟩ + 0.8|1⟩，因为 0.6² + 0.8² = 1 已满足归一化。若原始数据不满足归一化，需要先除以 L2 范数，这一步在工程实现中通常由预处理完成。

二、密度矩阵：纯态与混合态的统一语言

态矢量只能描述纯态。当系统与外界存在纠缠、退相干，或我们只掌握经典概率分布时，必须使用密度矩阵：

ρ = Σᵢ pᵢ |ψᵢ⟩⟨ψᵢ|,  pᵢ ≥ 0,  Σ pᵢ = 1,  tr(ρ) = 1

纯态是混合态的特例，此时 ρ = |ψ⟩⟨ψ|，且满足 ρ² = ρ、tr(ρ²) = 1。判断一个态是否纯，最常用的指标是纯度 tr(ρ²)：等于 1 为纯态，小于 1 为混合态。单量子比特密度矩阵可写成一般形式：

ρ = (I + rₓσₓ + r_yσ_y + r_zσ_z) / 2

其中 σₓ、σ_y、σ_z 是泡利矩阵，r = (rₓ, r_y, r_z) 是实三维矢量。这个表达式正是布洛赫球表示的代数来源。

三、布洛赫球：单量子比特态的几何图像

任意单量子比特态都可以参数化为：

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩

其中 θ ∈ [0, π] 是极角，φ ∈ [0, 2π) 是方位角。把 (θ, φ) 映射到单位球面上的点，就得到布洛赫球：北极对应 |0⟩，南极对应 |1⟩，赤道上的点对应等概率叠加态，如 |+⟩ 在 +x 轴、|−⟩ 在 −x 轴、|+i⟩ 在 +y 轴。球内任意一点（|r| < 1）对应混合态，球心 r = 0 对应完全混合态 I/2。因此布洛赫球把“纯态在球面、混合态在球内”这一事实直观地呈现出来。

对工程实践而言，布洛赫球最重要的价值在于：它把单比特量子门的作用变成球面上的旋转。绕 x、y、z 轴的旋转门 Rₓ(θ)、R_y(θ)、R_z(θ) 分别对应绕相应坐标轴的旋转，角度编码正是利用 R_y(θ) 把经典特征 x 映射为 θ = 2·arctan(x) 或 θ = x 的旋转角，使特征直接体现在布洛赫球的极角上。

四、三种表示的工程选择

在真实工程中，选择哪种表示取决于数据形态与噪声模型。若数据是干净的归一化向量、且后续电路以态矢量模拟为主，直接用态矢量最省资源；若数据来自含噪传感器、或需要描述退相干信道，密度矩阵是唯一严谨的选择；若只关心单比特特征的角度映射，布洛赫球提供了最直观的参数化，也便于把经典特征 x 与旋转角 θ 建立一一对应。

需要特别提醒的是，布洛赫球只对单量子比特成立。多量子比特系统虽然也可以用广义布洛赫表示（泡利基展开），但维度随比特数指数增长，几何直观迅速失效。因此在多比特特征映射中，我们通常回到态矢量或密度矩阵的代数形式，而把布洛赫球作为单比特子系统的局部可视化工具。

五、一个可复现的映射示例

假设某传感器采集到二维特征 x = (3, 4)。若采用振幅编码，先计算范数 ‖x‖ = 5，归一化得 (0.6, 0.8)，于是 |ψ⟩ = 0.6|0⟩ + 0.8|1⟩，测量得到 0 的概率为 0.36、得到 1 的概率为 0.64。若改用角度编码，取 θ = 2·arctan(4/3) ≈ 1.855 rad，则 |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + sin(θ/2)|1⟩ ≈ 0.6|0⟩ + 0.8|1⟩，恰好与振幅编码结果一致——这是因为该例中数据本身已归一化，两种编码在单比特上重合。若数据为 (3, 4, 5) 三维向量，振幅编码需要 2 个量子比特（4 个基态，第 4 个振幅补 0），而角度编码需要 3 个量子比特分别承载三个特征，资源开销与表达能力出现明显分化。

理解这三种表示及其相互转换，是后续学习量子门、测量、特征映射电路与噪声建模的前提。在下一阶段的编码实践中，我们会反复在态矢量、密度矩阵与布洛赫球之间切换视角，用最合适的数学对象描述手头的经典数据与量子硬件状态。