3. 量子计算基础回顾

量子傅里叶变换（QFT）与相位估计（QPE）并不是凭空出现的算法，它们建立在量子计算最基本的几条规则之上。本节不重复线性代数细节，而是把后续算法真正会用到的操作前提梳理清楚：量子比特如何表示、量子门如何改变状态、电路如何组织这些门、测量如何把量子信息变成经典结果、纠缠如何让多比特协同工作。理解这五点，后面看到 QFT 电路中的受控相位门、QPE 中的逆 QFT 和辅助寄存器时，才不会觉得它们是突然冒出来的技巧。

量子比特：状态不是 0 或 1，而是振幅

一个量子比特的状态写成 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 是复数振幅，满足 |α|² + |β|² = 1。|α|² 和 |β|² 分别是测量得到 0 和 1 的概率。这里要特别强调“振幅”和“概率”的区别：振幅带相位，可以相互干涉；概率只是振幅模平方后的实数。QFT 之所以能起作用，正是因为它通过受控相位门在振幅上写入相位，再让这些相位在逆变换中发生相长或相消干涉。

多比特系统的状态空间随比特数指数增长。n 个量子比特的基态有 2ⁿ 个，一般态是这些基态的叠加。例如两个量子比特可以写成 α₀₀|00⟩ + α₀₁|01⟩ + α₁₀|10⟩ + α₁₁|11⟩。后续 QPE 用 t 个辅助比特编码相位，其状态空间就是 2ᵗ 维，这正是它能以有限比特获得较高相位精度的原因。

量子门：对振幅的精确操控

量子门是作用在量子比特上的酉变换，必须可逆，且保持总概率为 1。后续算法最常用的是以下几类：

• 单比特门：Pauli-X 相当于经典非门，把 |0⟩ 和 |1⟩ 互换；Hadamard 门 H 把 |0⟩ 变成 (|0⟩+|1⟩)/√2，是制造叠加态的基本工具；相位门 S、T 和一般相位门 P(θ) 只改变 |1⟩ 的相位，不改变测量概率。
• 受控门：以另一个比特为控制位，只有控制位为 |1⟩ 时才作用目标位。CNOT 是最典型的受控门，用于制造纠缠；受控相位门 CP(θ) 在 QFT 中大量出现，它把控制位和目标位的“同时为 1”这一条件映射成一个相位 e^{iθ}。
• 交换门：SWAP 交换两个比特的状态，在 QFT 末尾用于把比特顺序倒回来。

需要记住一个关键事实：所有量子门都是线性的。这意味着门作用在叠加态上，等于分别作用在每个基态上再叠加。例如 H 作用在 (|0⟩+|1⟩)/√2 上，会得到 |0⟩，因为两个分支的振幅发生了相长干涉。QFT 的整个推导都依赖这条线性性质。

量子电路模型：时间从左到右，线是比特

量子电路用横线表示量子比特，从左到右表示时间推进，方框或符号表示门。电路模型的价值在于它把“先做什么、后做什么、哪些比特参与”表达得非常清楚。后续 QFT 电路可以概括为三步：对每个比特施加 H 门，在比特对之间插入受控相位门，最后用 SWAP 门调整顺序。QPE 则是在此基础上，把辅助寄存器作为控制位，把目标寄存器作为目标位，反复施加受控酉操作。

电路中的门序不能随意交换。一般来说，作用在不同比特上的门如果互不影响，可以并行；但如果一个门使用了另一个门刚改变过的比特，就必须保持先后顺序。这一点在阅读 QFT 电路图时尤其重要：H 门和受控相位门的排列顺序直接决定了相位累加的方式。

测量：从量子态到经典比特

测量是量子电路与经典世界之间的接口。在计算基下测量一个量子比特，会以 |α|² 的概率得到 0，以 |β|² 的概率得到 1，并且测量后状态坍缩到对应的基态。这意味着测量会破坏叠加和相位信息，不能把测量当作“偷看”中间状态的手段。

在 QPE 中，测量发生在最后：对辅助寄存器做逆 QFT 后，在计算基下测量，得到的就是相位 φ 的二进制近似。测量结果的每一位都是经典比特，可以读入经典寄存器。这里有一个常见误区：不能在中途测量辅助比特再继续计算，因为那会破坏后续干涉。所有受控酉操作和逆 QFT 必须在测量之前完成。

纠缠：多比特协同的资源

纠缠是指多个量子比特的状态不能写成各自状态的乘积。例如 (|00⟩+|11⟩)/√2 是纠缠态，测量第一个比特得到 0，第二个必然也是 0；得到 1，第二个必然也是 1。CNOT 加上 H 门是制造这种纠缠的标准方式。

纠缠在 QFT 和 QPE 中扮演的是“关联资源”的角色。QFT 产生的输出态中，各比特之间存在由相位决定的关联；QPE 则利用辅助寄存器与目标寄存器之间的受控操作，把目标寄存器的本征相位“踢”到辅助寄存器的相对相位上。如果没有纠缠和受控操作，辅助寄存器就无法感知目标寄存器的相位，整个算法也就失效了。

后续算法需要记住的操作前提

把本节内容压缩成几条后续会反复用到的前提：

• 量子态由振幅描述，振幅带相位，相位可以干涉；
• 量子门是酉变换，线性、可逆，H 门制造叠加，受控相位门写入相位；
• 电路按时间从左到右组织，门序影响结果，不同比特上的门可以并行；
• 测量把量子态概率性地变成经典比特，并导致坍缩，不能中途随意测量；
• 纠缠让多比特状态不可分解，是受控操作传递相位信息的载体。