2. 速度环数学模型：从电机方程到PI控制器的传递函数推导

做速度环调参，不懂数学模型，就像开车不看仪表盘——也能跑，但心里没底。这一章，我带你把电机方程到PI控制器的传递函数，一步步捋清楚。

说实话，我刚入行那会儿，也觉得数学推导太枯燥。直到有一次，一个伺服系统在低速时抖得厉害，我调了三天参数都没搞定。后来静下心来，把传递函数画了一遍，才发现是反电动势补偿没做对。嗯，从那以后，我再也不敢跳过数学模型了。

2.1 直流电机的动态方程

我们先从最简单的直流电机开始。你想想看，一个电机转起来，受哪些力？

• 电磁转矩：电流产生的驱动力，T_e = K_t · i
• 负载转矩：外部施加的阻力，T_L
• 阻尼转矩：轴承摩擦、风阻等，B · ω
• 惯性转矩：转子加速需要的力，J · dω/dt

根据牛顿第二定律（旋转形式）：

J · dω/dt = Te - TL - B · ω

其中：

• J —— 转动惯量（kg·m²）
• ω —— 角速度（rad/s）
• B —— 阻尼系数（N·m·s/rad）
• K_t —— 转矩常数（N·m/A）

再看电枢回路。电机旋转时，会产生反电动势 e = K_e · ω，其中 K_e 是反电动势常数（V·s/rad）。对于理想电机，K_t = K_e，这个后面会用到。

电枢电压方程：

u = R · i + L · di/dt + Ke · ω

这里 u 是电枢电压，R 是电枢电阻，L 是电枢电感。这两个方程，就是电机动态特性的“DNA”。

2.2 拉普拉斯变换与传递函数

把上面两个方程拉到复频域（s域）处理，会清爽很多。为什么要做拉普拉斯变换？因为微分方程变成代数方程，乘除关系一目了然。

假设初始条件为零，对两个方程做拉普拉斯变换：

J · s · Ω(s) = Kt · I(s) - TL(s) - B · Ω(s)
U(s) = R · I(s) + L · s · I(s) + Ke · Ω(s)

整理一下，从电压 U(s) 到转速 Ω(s) 的传递函数，需要消去中间变量 I(s)。

从第一个方程解出 I(s)：

I(s) = (J · s + B) · Ω(s) / Kt + TL(s) / Kt

代入第二个方程，并令 T_L(s) = 0（空载情况），得到：

U(s) = (R + L·s) · [(J·s + B) · Ω(s) / Kt] + Ke · Ω(s)

整理后，电机本体传递函数为：

Gmotor(s) = Ω(s) / U(s) = Kt / [(L·s + R)(J·s + B) + Kt·Ke]

2.3 PI控制器的传递函数

速度环最常用的控制器就是PI。为什么不用纯P？因为纯比例控制会有静差，你想想看，负载一变，转速就回不到设定值。积分项就是用来消除这个静差的。

PI控制器的时域表达式：

u(t) = Kp · e(t) + Ki · ∫e(t)dt

其中 e(t) = ω_ref(t) - ω(t) 是速度误差。

拉普拉斯变换后：

C(s) = U(s) / E(s) = Kp + Ki / s

写成更常用的形式：

C(s) = Kp · (1 + 1 / (Ti · s))

其中 T_i = K_p / K_i，称为积分时间常数。

2.4 速度环闭环传递函数

把PI控制器和电机串起来，就构成了速度环的开环传递函数：

Gopen(s) = C(s) · Gmotor(s)

如果忽略电感 L（工程上常见简化），电机传递函数简化为：

Gmotor(s) ≈ Kt / (R · (J·s + B) + Kt·Ke)

令总等效阻尼 B_eq = B + K_t·K_e/R，等效增益 K_m = K_t/R，则：

Gmotor(s) = Km / (J·s + Beq)

开环传递函数：

Gopen(s) = Kp · (1 + 1/(Ti·s)) · Km / (J·s + Beq)

闭环传递函数（单位负反馈）：

Gclose(s) = Gopen(s) / (1 + Gopen(s))

展开后是一个典型的二阶系统。它的自然频率 ω_n 和阻尼比 ζ，直接决定了速度环的动态响应特性。

2.5 知识体系总览

下面这张图，把整个推导脉络串起来了。你可以把它当作本章的“地图”。

Gclose(s) = ωn² / (s² + 2ζωn·s + ωn²)