2、基础运动学模型：两轮差速模型、阿克曼模型、单车模型，运动学约束与状态空间表示
做轨迹跟踪，第一件事不是调参数，而是搞清楚你的车到底是个什么玩意儿在动。
我见过太多人上来就调 PID，结果车在原地打转——为什么？因为模型选错了。你想想看，一个差速底盘和一个汽车底盘，它们的运动方式完全不同。今天我们就来把这三个最常用的运动学模型掰开揉碎讲清楚。
2.1 两轮差速模型
这是移动机器人最常用的模型。两个驱动轮独立控制，一个万向轮跟着跑。说白了，靠左右轮的速度差来实现转弯。
核心思想：左轮速度 vL，右轮速度 vR，轮距 L。机器人的线速度 v 和角速度 ω 由下式决定：
v = (v_R + v_L) / 2
ω = (v_R - v_L) / L状态空间表示很简单。取机器人位姿为 [x, y, θ]T，控制输入为 [v, ω]T：
ẋ = v * cos(θ)
ẏ = v * sin(θ)
θ̇ = ω嗯，这里要注意：这个模型有一个非完整约束——机器人不能横向移动。也就是说，它的速度方向永远指向车头朝向。
我的经验：做差速模型调参时，我习惯先把轮距 L 测量精确。差 1 厘米，转弯半径就偏 5%。曾经有个项目，机器人走直线总是偏右，查了三天发现是轮距标定错了。
2.2 阿克曼模型
汽车底盘用的就是这个。前轮转向，后轮驱动。左右前轮的转向角不一样——内轮转角比外轮大，这样才能保证所有轮子绕同一个圆心转。
阿克曼转向几何的核心条件：
cot(δ_L) - cot(δ_R) = L_w / L_b其中 δL、δR 是左右前轮转角，Lw 是轮距，Lb 是轴距。
实际工程中，我们通常用单车模型来近似阿克曼模型。为什么？因为四个轮子的运动学太复杂了，控制算法里用不着那么细。
| 参数 | 符号 | 典型值 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 轴距 | Lb | 2.5 m | 前后轴距离 |
| 轮距 | Lw | 1.5 m | 左右轮距离 |
| 前轮转角 | δ | ±30° | 单车模型等效转角 |
| 最大曲率 | κmax | tan(δmax)/Lb | 转弯能力上限 |
避坑指南：我曾经在实车上直接用阿克曼模型做轨迹跟踪，结果发现前轮转角超过 25° 时，轮胎侧偏严重，模型完全失效。后来加了侧偏角补偿才解决。记住：阿克曼模型只在低速（< 5 m/s）和小转角（< 20°）下才准确。
2.3 单车模型（Bicycle Model）
这是我最常用的模型。把左右轮合并成一个虚拟轮，放在前后轴中间。简单、实用、够用。
状态空间表示：
ẋ = v * cos(θ + β)
ẏ = v * sin(θ + β)
θ̇ = (v / L_b) * cos(β) * tan(δ)
β = arctan( (L_r / L_b) * tan(δ) )其中 β 是质心侧偏角，Lr 是后轴到质心的距离。如果质心在后轴中心，β = 0，模型退化为：
ẋ = v * cos(θ)
ẏ = v * sin(θ)
θ̇ = (v / L_b) * tan(δ)你看，这个形式和差速模型很像，区别在于角速度控制变成了前轮转角控制。
三种模型对比：
- 差速模型：直接控制 v 和 ω，适合室内机器人、AGV
- 阿克曼模型：控制 v 和 δL、δR，适合真实车辆
- 单车模型：控制 v 和 δ，是阿克曼的简化版，适合算法开发
2.4 运动学约束
搞清楚了模型，还得知道它的限制。我总结了三类约束：
- 非完整约束：不能横向移动。数学上表示为 ẋ·sin(θ) - ẏ·cos(θ) = 0
- 输入约束：速度有上下限，转角有机械限位
- 曲率约束：转弯半径不能小于最小转弯半径 Rmin = Lb / tan(δmax)
为什么这些约束重要？因为轨迹跟踪算法生成的参考轨迹，必须满足这些约束。否则控制器会饱和，跟踪性能直接崩掉。
我的习惯：做轨迹规划时，我会把约束直接写进优化目标里。比如在 MPC 中，把 vmin ≤ v ≤ vmax 和 |δ| ≤ δmax 作为硬约束。这样生成的轨迹天然可执行。
2.5 知识体系总览
下面这张图把三种模型的关系和适用场景串起来了。我建议你保存下来，以后选模型时对照着看。
2.6 状态空间表示的统一形式
三种模型其实可以写成统一的形式：
ż = f(z, u)其中 z = [x, y, θ]T 是状态，u 是控制输入。差速模型的 u = [v, ω]T，单车模型的 u = [v, δ]T。
做轨迹跟踪时，我们通常把模型线性化，得到：
ż = A·z + B·u然后在这个线性化模型上设计控制器。具体怎么线性化，我们后面章节会详细讲。
一个小技巧：我习惯在代码里把模型封装成一个类，输入是状态和控制量，输出是状态导数。这样换模型时只需要改这个类，控制器代码完全不用动。