2. 鱼眼相机模型：针孔模型 vs 鱼眼模型、等距投影模型、畸变参数（k1,k2,k3,k4）

做环视算法这几年，我接触最多的就是鱼眼相机。说实话，刚入行那会儿我也纳闷——为什么不用普通的针孔相机？后来在车厂做项目时才发现，一个鱼眼镜头能覆盖 180° 甚至更大的视野，四个鱼眼就能把车周围看全。但代价就是，它的成像模型比针孔复杂得多。

这一节，我们就来掰扯清楚鱼眼相机的数学模型。你搞懂了这些，后面的标定和去畸变才能做得顺手。

2.1 针孔模型 vs 鱼眼模型：本质区别在哪？

先说说针孔模型。它假设光线是直线传播的，穿过小孔后在成像平面上投影。这个模型简单、直观，但有个硬伤——视野越大，成像平面就得越大。你想想看，要是想拍 180°，成像平面得无限大，这显然不现实。

鱼眼模型就不一样了。它通过镜头组把光线「弯折」到一个小尺寸的传感器上。说白了，就是故意引入畸变，来换取大视野。

我在实际项目中做过对比：同样一个 1/2.3 英寸的传感器，针孔镜头最多做到 60° 视场角，而鱼眼镜头轻松做到 190°。代价是什么？图像边缘的物体被严重拉伸，你看着会觉得很「扭曲」。

2.2 等距投影模型：鱼眼相机的数学基础

鱼眼相机的投影方式有好几种，但环视算法里最常用的是 等距投影模型。它的数学表达式很简单：

r = f * θ

其中：

• r：像点到图像中心的距离（像素单位）
• f：焦距（像素单位）
• θ：入射光线与光轴的夹角（弧度）

你看，这个公式意味着：入射角每增加一度，像点就往外移动固定的像素数。这跟针孔模型的 r = f * tan(θ) 完全不同。当 θ 接近 90° 时，tan(θ) 会趋向无穷大，而 θ 本身只有 1.57 弧度——这就是鱼眼能覆盖大视野的数学原因。

除了等距投影，还有几种常见的鱼眼投影模型：

模型名称	投影公式	特点
等距投影	r = f * θ	角度与像距线性，环视最常用
等立体角投影	r = 2f * sin(θ/2)	保持立体角不变，天文摄影常用
正交投影	r = f * sin(θ)	边缘压缩严重，很少用于环视
体视投影	r = 2f * tan(θ/2)	保持角度不变，全景拼接常用

环视算法里，我们几乎只用等距投影。为什么？因为它的畸变分布最均匀，后续做鸟瞰变换时误差最小。

2.3 畸变参数 k1,k2,k3,k4：鱼眼畸变的数学描述

实际鱼眼镜头不可能完美符合等距投影。镜头加工有公差、装配有误差，所以我们需要用多项式来拟合真实的畸变曲线。

OpenCV 里用的鱼眼畸变模型是这样的：

θ_d = θ * (1 + k1 * θ² + k2 * θ⁴ + k3 * θ⁶ + k4 * θ⁸)

然后：

r = f * θ_d

这里的 k1, k2, k3, k4 就是畸变参数。它们的作用是修正理论模型和实际镜头之间的偏差。

这些参数的具体含义：

• k1：主要控制径向畸变的幅度，是影响最大的参数
• k2：修正高阶畸变，通常比 k1 小一个数量级
• k3, k4：更高阶的修正项，对于边缘畸变明显的镜头很重要

我在项目中遇到过一款国产鱼眼镜头，k1 大约是 -0.15，k2 是 0.02，k3 和 k4 都在 1e-3 量级。如果只标 k1 和 k2，边缘的畸变校正后还有 3-4 个像素的残差。加上 k3,k4 后，残差降到了 0.5 像素以内。

2.4 鱼眼相机模型完整流程

下面这张图展示了从 3D 世界点到鱼眼图像像素的完整流程：

2.5 实际标定中的注意事项

做鱼眼标定时，有几个坑我踩过，分享给你：

1. 棋盘格要足够大：鱼眼视野大，小棋盘格在边缘根本看不清。我一般用 A2 大小的棋盘格，格子边长 30mm 以上。
2. 覆盖全视野：标定图片必须覆盖整个视场角，尤其是边缘。我曾经只拍了中心区域，结果标出来的参数在边缘完全不能用。
3. 图片数量要够：鱼眼参数多，至少需要 20-30 张有效图片。我习惯拍 40 张，然后挑出 25 张质量好的。
4. 注意重投影误差：标定完成后一定要看重投影误差。鱼眼相机的重投影误差一般在 0.3-0.8 像素之间。如果超过 1 个像素，说明标定质量有问题。

2.6 小结

鱼眼相机模型的核心就三件事：

• 理解等距投影 r = f * θ 为什么能覆盖大视野
• 掌握 k1~k4 四个畸变参数的作用
• 知道完整的成像流程：世界点 → 相机坐标系 → 归一化平面 → 畸变校正 → 投影到像面