4. 系统辨识与建模

高精度运动控制系统的性能上限，本质上由控制器对物理对象的认知深度决定。无论是纳米级定位平台、光刻机工件台还是精密转台，控制律设计（如PID、前馈、鲁棒控制）都依赖于一个尽可能准确的被控对象模型。系统辨识与建模正是连接物理世界与控制算法的桥梁。本章将围绕频率响应测试、最小二乘辨识、参数拟合三大核心手段，系统阐述如何从实验数据中提取高精度运动系统的名义模型（Nominal Model），并进一步量化模型误差，建立面向鲁棒控制的不确定性模型（Uncertainty Model）。

上图展示了系统辨识与建模的完整闭环流程。从实验设计到不确定性建模，每一步都直接影响最终控制系统的鲁棒性与性能。下面我们将逐一深入解析每个环节的核心原理与工程实现方法。

4.1 频率响应测试：获取系统动态特性的“金标准”

核心原理

频率响应测试通过在感兴趣频段内施加正弦激励或宽频激励，测量系统输出与输入的幅值比和相位差，从而获得被控对象的Bode图。对于高精度运动系统，频率响应测试是辨识机械谐振、反谐振、迟滞等特性的最可靠手段。其数学基础是线性时不变系统的频率保持性：当输入为某一频率的正弦信号时，稳态输出为同频率的正弦信号，仅幅值和相位发生变化。

测试方法与操作流程

1. 激励信号选择：对于高精度运动系统，推荐使用线性调频信号（Chirp）或伪随机二进制序列（PRBS）。Chirp信号能在短时间内覆盖宽频带，且能量集中；PRBS则具有确定性的频域特性，适合离线分析。
2. 采样率与抗混叠：采样率至少为感兴趣最高频率的5-10倍。例如，若需辨识至2kHz，采样率应不低于10kHz。同时，必须在ADC前加入抗混叠滤波器（通常为二阶或四阶低通），截止频率设为采样率的1/2.56。
3. 激励幅值确定：幅值应足够大以克服测量噪声，但又不能过大导致系统进入非线性区（如摩擦、饱和）。通常先施加小幅值试探，观察输出信号的信噪比（SNR），确保SNR > 20dB。
4. 多次平均：为抑制随机噪声，建议重复测量3-5次，在频域进行幅值平均和相位平均。

案例拆解：光刻机工件台的频率响应测试

某光刻机工件台采用直线电机驱动，质量约50kg，行程300mm。目标辨识频段为1Hz-5kHz。测试中采用Chirp信号，扫频时间10s，采样率20kHz。初始测试发现，在1.2kHz处存在明显的幅值尖峰（+8dB），相位滞后急剧增加。进一步分析确认这是工件台的一阶弯曲模态（机械谐振）。通过改变激励幅值（从5μm增至20μm），谐振峰幅值略有下降，表明该模态具有轻微非线性。最终，采用5μm幅值、5次平均的测试方案，获得了信噪比优于30dB的频响数据。

常见误区与复盘

• 误区一：忽略抗混叠滤波。若采样率20kHz而抗混叠滤波器截止频率设为10kHz，则2kHz以上的信号会被折叠到低频段，导致辨识结果严重失真。
• 误区二：激励幅值过大。过大的激励会激发摩擦非线性，使频响曲线在低频段出现“平直”假象，掩盖真实的积分特性。
• 误区三：只测一次。单次测量无法评估随机误差，建议至少重复3次并计算方差。

4.2 最小二乘辨识与参数拟合：从数据到解析模型

核心原理

最小二乘辨识通过最小化预测误差的平方和来估计模型参数。对于运动系统，常用的是离散传递函数模型或状态空间模型。设系统输入为u(k)，输出为y(k)，采用ARX模型结构：

A(q)y(k) = B(q)u(k) + e(k)

其中A(q)和B(q)是q的多项式，q为移位算子。最小二乘的目标函数为：

J(θ) = Σ[y(k) - φᵀ(k)θ]²

其中φ(k)为回归向量，θ为待估参数向量。其解析解为θ = (ΦᵀΦ)⁻¹ΦᵀY。

操作流程与关键步骤

参数拟合的进阶方法

对于高精度运动系统，单纯的线性最小二乘往往不够。推荐采用以下策略：

• 加权最小二乘：在频域内对不同频段赋予不同权重，重点拟合控制带宽附近的频段（如10Hz-500Hz）。
• 迭代重加权最小二乘：先进行普通最小二乘，计算残差，然后根据残差大小调整权重，抑制异常值影响。
• 子空间辨识：对于多输入多输出（MIMO）系统，如XY双轴运动平台，使用N4SID或MOESP等子空间方法，直接辨识状态空间模型。

案例拆解：精密转台的参数辨识

某精密转台系统，采用力矩电机直驱，负载惯量0.02kg·m²。通过频率响应测试获得1Hz-1kHz的Bode图。采用ARX模型（阶次na=4, nb=4）进行最小二乘辨识，初始拟合R²=85%。分析残差发现，在200Hz附近存在明显的未建模动态。进一步检查发现，该频段对应电机电流环的采样延迟。将模型阶次提升至na=6, nb=6，并加入一个延迟环节z⁻¹，R²提升至94%。最终拟合得到的连续传递函数为：

P(s) = 2500 / [s(s² + 2×0.02×100s + 100²)]

该模型准确反映了刚体积分特性（2500/s）和100Hz处的机械谐振（阻尼比0.02）。

4.3 名义模型与不确定性模型的建立

核心原理

名义模型P₀(s)是控制系统设计的基础，通常取辨识结果的中值或平均值。然而，由于温度变化、负载变化、老化等因素，实际系统与名义模型之间存在偏差。不确定性模型通过量化这种偏差，为鲁棒控制器设计提供边界条件。常用的不确定性描述包括：

• 乘性不确定性：P(s) = P₀(s)[1 + W(s)Δ(s)]，其中|Δ(jω)| ≤ 1，W(s)为权重函数。
• 加性不确定性：P(s) = P₀(s) + W(s)Δ(s)。
• 参数不确定性：直接对物理参数（如质量、阻尼、刚度）设定变化范围。

不确定性权重函数的拟合方法

1. 收集多组频响数据：在不同工况（如不同负载、不同温度）下重复频率响应测试，获得一组Pᵢ(jω)。
2. 计算相对误差：对每个频率点，计算|Pᵢ(jω) - P₀(jω)|/|P₀(jω)|。
3. 包络拟合：用一阶或二阶传递函数W(s)包络所有相对误差点，确保|W(jω)| ≥ max|相对误差|。

案例拆解：纳米定位平台的不确定性建模

某压电驱动的纳米定位平台，标称行程100μm，分辨率0.1nm。在空载、半载、满载三种工况下分别进行频率响应测试。名义模型P₀(s)取空载数据拟合结果。计算各频率点的相对误差后发现：

• 低频段（<10Hz）：相对误差<2%，主要源于负载变化引起的刚度变化。
• 中频段（10-100Hz）：相对误差5-8%，源于压电陶瓷的迟滞非线性。
• 高频段（>100Hz）：相对误差达15%，源于机械谐振频率的漂移（约±5%）。

采用二阶权重函数W(s) = (0.1s + 1)/(0.01s + 1)进行包络拟合，在10Hz处|W|≈0.05，在100Hz处|W|≈0.15，成功覆盖所有实测误差点。该不确定性模型为后续H∞控制器设计提供了准确的边界条件。

常见误区与总结复盘