3. GNC系统建模与故障表征

GNC（制导、导航与控制）系统的故障检测与重构，第一步不是设计算法，而是把被控对象和部件“写成数学”。只有先建立轨道动力学、姿态动力学、执行机构与敏感器的模型，才能定义“什么是正常”，进而定义“什么是故障”。本节围绕这一建模链条展开，并给出故障的数学表征与分类方法。

一、坐标系与状态量约定

建模前必须固定参照约定，否则后续符号会混乱。本节统一采用：轨道动力学在地心惯性系（ECI）下描述，姿态动力学在本体坐标系下描述，姿态角采用3-2-1 欧拉角（偏航ψ、俯仰θ、滚转φ）表示，角速度矢量 ω 在本体系下定义。轨道状态取位置矢量 r 与速度矢量 v，姿态状态取四元数 q（或欧拉角）与角速度 ω。全文及图示均遵循这一约定。

二、轨道与姿态动力学模型

轨道运动的核心是二体引力加摄动。忽略摄动时，轨道动力学为：

r_dot = v
v_dot = -mu * r / |r|^3 + a_pert + a_ctrl

其中 mu 为地球引力常数（约 3.986×10^14 m³/s²），a_pert 为 J2 摄动、大气阻力、三体引力等，a_ctrl 为推力加速度。以 500 km 近圆轨道为例，轨道角速度约 1.1×10^-3 rad/s，周期约 95 min，这些量级决定了故障检测的采样与时间窗设计。

姿态动力学由刚体转动方程描述：

J * omega_dot = -omega × (J * omega) + T_ctrl + T_dist

其中 J 为惯量矩阵，T_ctrl 为控制力矩，T_dist 为干扰力矩（气动、磁、重力梯度）。姿态运动学则把 ω 与姿态角变化率联系起来。这两组方程共同构成 GNC 的“被控对象模型”，是残差生成的基础。

三、执行机构与敏感器模型

执行机构把控制指令转换为力矩或推力。典型对象包括反作用飞轮、控制力矩陀螺（CMG）、磁力矩器和推力器。以飞轮为例，其模型为：

T_w = k_t * i_cmd - b * omega_w - T_friction
omega_w_dot = (T_w - T_load) / J_w

其中 k_t 为力矩系数，b 为粘性阻尼，T_friction 为摩擦，J_w 为飞轮转动惯量。飞轮饱和、摩擦增大、电流环失效都是典型故障。

敏感器模型则描述测量与真值的关系。以陀螺为例：

omega_meas = omega_true + b_gyro + n_gyro
b_gyro_dot = n_bias

其中 b_gyro 为漂移偏置，n_gyro 为白噪声。星敏感器输出姿态四元数，模型为 q_meas = q_true ⊗ q_err，q_err 表征安装误差与测量噪声。太阳敏感器、磁强计同理。敏感器故障常表现为偏置突增、噪声放大、输出卡死或数据中断。

四、故障的数学表征

有了模型，故障就可以写成对正常模型的“偏离”。常见表征方式有四类：

• 加性故障：y = y_n + f(t)，如陀螺偏置突增、推力器额外推力。
• 乘性故障：y = (1+α)·y_n，如飞轮力矩系数下降、敏感器增益漂移。
• 卡死故障：y = const，如陀螺输出冻结、飞轮停转。
• 饱和/限幅故障：u = u_max，如飞轮转速饱和、推力器达到最大推力。

以陀螺为例，正常时 ω_meas = ω_true + b + n；若发生偏置故障，则 b 从 0.01°/h 突变为 0.5°/h，残差 r = ω_meas - ω_model 会持续偏离零均值。若发生卡死，则 ω_meas 不再随 ω_true 变化，残差方差骤降但均值偏移，这是与噪声故障区分的关键特征。

五、故障分类与检测含义

按时间特性，故障可分为突变故障（阶跃）、缓变故障（斜坡/漂移）和间歇故障（时有时无）。突变故障适合用残差幅值阈值检测；缓变故障需要累积和（CUSUM）或广义似然比（GLR）等对小偏差敏感的方法；间歇故障则要防止误报，通常需要连续多拍确认。

按作用位置，故障分为执行机构故障、敏感器故障和系统级故障（如动力学参数摄动、控制律失效）。执行机构故障直接影响 T_ctrl，敏感器故障直接影响 y，系统级故障则同时改变模型结构与参数。检测时，执行机构故障往往表现为“控制指令与姿态响应不一致”，敏感器故障表现为“多源测量不一致”，系统级故障表现为“模型残差整体偏移”。

六、一个可复现的建模与故障注入示例

以某 500 km 太阳同步轨道卫星为例，设 J = diag(120, 130, 100) kg·m²，飞轮力矩系数 k_t = 0.02 N·m/A，陀螺偏置初值 b0 = 0.01°/h，采样周期 Ts = 0.1 s。正常仿真 100 s 后，在第 100 s 注入陀螺偏置故障，b 变为 0.5°/h。可观察到：

1. 第 100 s 前，残差 r_gyro 均值约 0，标准差约 0.005°/h；
2. 第 100 s 后，残差均值跳变至约 0.49°/h，标准差基本不变；
3. 若改为注入卡死故障，则残差均值偏移且标准差趋近于 0，与偏置故障可区分。

这一示例说明：故障表征不是抽象概念，而是可以直接在残差序列上观察到的统计特征变化。检测算法的任务，就是把这些变化从噪声中可靠地分离出来。

综上，GNC 故障检测与重构的起点是“模型 + 故障表征”。轨道与姿态动力学定义了状态如何演化，执行机构与敏感器模型定义了控制与测量如何映射，故障则被统一写成对这些映射的加性、乘性、卡死或饱和偏离。掌握这一层数学语言，后续的残差生成、阈值设计和重构策略才有共同的基础。