2. 传感器建模的数学基础

航天器GNC（制导、导航与控制）系统的传感器建模，本质上是用一套统一的数学语言，把物理量、参考基准、随机扰动和动态响应描述清楚。本节围绕四块基础展开：坐标系与姿态表示、随机过程与噪声、线性系统与状态空间、误差传播。它们不是孤立知识点，而是从“量在哪里、怎么转、噪声从哪来、如何传下去”这条链条上依次衔接的。

一、坐标系与姿态表示：先定基准，再谈数值

任何传感器输出都必须绑定一个参考系。GNC中常用的有：地心惯性系（ECI，近似惯性）、轨道系（RSW/RTN）、星体本体系（Body）、敏感器安装系（如星敏感器坐标系、陀螺坐标系）以及当地水平系（NED/ENU）。建模第一步是明确“测量值表达在哪个系、从哪个系到哪个系”。

姿态表示常用三种：方向余弦矩阵（DCM）、欧拉角、四元数。DCM直观但参数冗余（9个元素、6个约束）；欧拉角物理意义明确，但存在万向节死锁，且旋转顺序必须声明（如3-2-1即偏航-俯仰-滚转）；四元数只有4个参数、无奇异，适合递推，但符号双覆盖（q与−q表示同一姿态），建模时需约定符号连续化。工程上常以四元数做姿态递推，用DCM做坐标变换，用欧拉角做显示与判读。

以星敏感器为例：它输出的是星敏系下的视线矢量，要转到本体系需用安装矩阵 C_bs，再经本体系到惯性系的姿态矩阵 C_bi，得到惯性系下的观测矢量。若安装矩阵标定有偏差，会直接以系统误差形式进入姿态解算，因此安装矩阵通常作为待估参数一并建模。

二、随机过程与噪声：把“不确定”写成可运算的量

传感器误差分两类：确定性误差（零偏、标度因数、安装偏差）和随机误差。随机误差用随机过程描述，核心统计量是均值、方差、自相关函数和功率谱密度（PSD）。GNC建模中最常用的是高斯白噪声和随机游走（维纳过程）。

陀螺的典型随机模型为：角速率测量 ω_m = ω_true + b + n_g，其中 n_g 是角度随机游走（ARW）对应的白噪声，b 是零偏，其演化 ḃ = n_b 为速率随机游走（RRW）。ARW单位常为 °/√h，RRW为 °/h/√Hz。加速度计同理，用速度随机游走（VRW）和零偏不稳定性描述。

离散化时要注意：连续白噪声的PSD为 S，采样周期 Δt，则离散噪声方差为 σ² = S/Δt；而随机游走离散为 b_k = b_{k-1} + w_k，w_k 方差为 q·Δt。这一步若搞错，滤波器会系统性低估或高估噪声，导致增益失配。

三、线性系统与状态空间：把动态写成矩阵

传感器动态常用线性状态空间描述：ẋ = Fx + Bu + w，z = Hx + v。其中 x 是状态（如姿态误差、陀螺零偏），F 是系统矩阵，H 是观测矩阵，w、v 为过程噪声与量测噪声。以姿态误差+陀螺零偏为例，状态取 x = [δθ, b]ᵀ，则 F = [[0, -I],[0, 0]]，H 由星敏观测决定。这种“误差状态”建模是卡尔曼滤波的标准做法，因为误差量小，线性化精度高。

连续系统需离散化：Φ_k = I + FΔt + (FΔt)²/2 + …，工程上常取一阶或二阶近似。离散过程噪声协方差 Q_d 由 Q_c 与 Φ 积分得到，不能简单用 Q_c·Δt 代替，否则零偏状态噪声会被低估。

四、误差传播：从单点误差到系统精度

误差传播回答“输入误差如何影响输出”。对非线性函数 y = f(x)，一阶近似为 δy = J·δx，J 为雅可比矩阵。若 δx 协方差为 P_x，则 P_y = J P_x Jᵀ。这就是协方差传播律，也是组合导航中误差预算的基础。

以姿态确定为例：星敏单星测量误差 σ_star，视场内有 N 颗星，则姿态误差近似按 σ_att ≈ σ_star/√N 改善；但若安装矩阵有 σ_mis 的偏差，则该项不随 N 减小，成为误差地板。因此误差传播不仅要算随机项，还要区分随观测数下降的项与不下降的系统项。

五、四块基础如何协同工作

实际建模时，四块内容按顺序落地：先定义坐标系与姿态表示，确定每个传感器输出的参考基准；再为每个传感器建立随机噪声模型，给出 Q_c 和量测噪声 R；然后用误差状态空间把姿态误差、零偏等串成 F、H；最后用协方差传播评估组合后的姿态精度，判断是否满足任务指标。

以某教学示例为例（参数为合理假设，非实测）：星敏单星精度 σ_star = 5″，视场平均观测 N = 8，则随机项约 5/√8 ≈ 1.77″；安装矩阵标定残差 σ_mis = 3″，则总误差约 √(1.77² + 3²) ≈ 3.48″。可见系统项已占主导，继续增加星数收益有限，应优先改进安装标定。这正是误差传播分析的实际价值：它告诉你瓶颈在哪里，而不是盲目堆传感器。

掌握这四块基础后，后续的陀螺、星敏、磁强计、太阳敏感器等具体传感器建模，都只是在这套框架下填入各自的 F、H、Q、R 和安装参数。数学基础统一了，模型才可组合、可验证、可复现。