4. 测量模型与观测方程

轨道参数估计的本质，是用地面或星上测得的观测量去反推航天器的位置、速度及其它待估参数。而连接“待估状态”与“观测量”的桥梁，就是测量模型，也称观测方程。它把状态量映射为可观测量，是滤波器设计、最小二乘求解和精度分析的共同基础。本章围绕测距、测速、测角、GNSS与星间链路等典型观测量，说明其数学表达，并重点讨论观测方程的线性化与雅可比矩阵构建。

一、观测方程的一般形式

设航天器在惯性系下的状态为 x（通常包含位置 r 与速度 v），第 i 个观测量记为 z_i。观测方程的一般形式可写为

z_i = h_i(x, t) + ε_i

其中 h_i(·) 是观测函数，ε_i 是量测噪声。若 h_i 对 x 是线性的，可直接用线性估计方法；但绝大多数航天测量模型都是非线性的，因此需要先在工作点附近线性化。

二、典型观测量的数学表达

测距（Range）。地面站位置为 r_s，航天器位置为 r，则几何距离为

ρ = ||r - r_s|| = sqrt((x-x_s)^2 + (y-y_s)^2 + (z-z_s)^2)

实际测距还包含站址坐标误差、对流层与电离层延迟、钟差等修正项，工程上常写成 ρ_meas = ρ + Δρ_trop + Δρ_ion + c·δt + ε。

测速（Range-rate）。测速通常由多普勒频移换算得到，其几何量为距离变化率

ρ̇ = (r - r_s)·(v - v_s) / ||r - r_s||

可见测速对位置和速度都敏感，是定轨中约束速度分量的关键量。

测角（Azimuth/Elevation）。在站心坐标系下，方位角 A 与俯仰角 E 由视线向量分量给出：

A = atan2(y_local, x_local)
E = asin(z_local / ρ)

测角对横向位置敏感，但精度随距离下降，常用于中低轨目标的初轨确定。

GNSS观测。星载GNSS接收机可输出伪距与载波相位：

P = ρ + c(δt_r - δt_s) + I + T + ε_P
Φ = ρ + c(δt_r - δt_s) - I + T + λN + ε_Φ

其中 N 为整周模糊度。GNSS观测量直接给出航天器在ECEF系下的位置约束，是低轨卫星精密定轨的主力观测量。

星间链路（ISL）。编队或星座中两颗卫星之间的测量包括星间距离与距离变化率：

ρ_ij = ||r_i - r_j||
ρ̇_ij = (r_i - r_j)·(v_i - v_j) / ||r_i - r_j||

星间链路把多颗卫星的状态耦合进同一观测方程，可显著改善星座整体定轨的几何构型。

三、观测方程的线性化

设标称状态为 x₀，真实状态为 x = x₀ + δx。将观测函数在 x₀ 处做一阶泰勒展开：

z = h(x_0) + (∂h/∂x)|_{x_0} · δx + ε

令残差 y = z − h(x₀)，则得到线性观测方程

y = H · δx + ε

其中 H = ∂h/∂x 就是雅可比矩阵。它把状态修正量 δx 映射为观测残差，是卡尔曼滤波量测更新和批处理最小二乘的核心矩阵。

四、雅可比矩阵的构建

以测距为例，令视线单位向量 u = (r − r_s)/ρ，则

∂ρ/∂r = u^T
∂ρ/∂v = 0

对测速，记相对位置 d = r − r_s，相对速度 w = v − v_s，则

∂ρ̇/∂r = (w - (d·w/ρ²)·d) / ρ
∂ρ̇/∂v = d / ρ

对测角，方位角与俯仰角的偏导可由站心坐标分量解析求出，例如

∂A/∂r = (-y_local, x_local, 0) / (x_local² + y_local²)
∂E/∂r = (-x_local·z_local, -y_local·z_local, x_local²+y_local²) / (ρ²·sqrt(x_local²+y_local²))

对GNSS伪距，若接收机钟差也作为待估参数，则雅可比需增加一列 c；对载波相位，还需增加整周模糊度对应的列。星间链路的雅可比则同时包含两颗卫星的位置、速度偏导，形成耦合块结构。

五、工程实现要点

实际编程时，雅可比矩阵通常按“观测量×状态量”的维度组织。以低轨卫星GNSS定轨为例，若状态含位置、速度、接收机钟差与模糊度，单颗GNSS卫星的伪距观测对应一行，载波相位对应另一行，行内非零元素集中在位置、钟差和模糊度列。批处理最小二乘中，把所有历元、所有观测量的雅可比按行堆叠，即可形成法方程 H^TH δx = H^Ty。

需要注意三点：其一，线性化点应尽量接近真值，否则高阶项会引入偏差，工程上常用迭代重线性化；其二，雅可比的条件数反映观测几何的优劣，测距与测角组合可改善可观测性；其三，量测噪声阵 R 应与各观测量的实际精度匹配，否则滤波增益会失真。

下表给出常见观测量的敏感方向与典型精度量级，供建模时参考（数值为示例性工程经验值，实际以任务指标为准）。

综上，测量模型把物理测量过程翻译成数学关系，线性化与雅可比矩阵则把非线性问题转化为可迭代求解的线性问题。掌握各观测量的解析偏导形式，并根据任务精度合理配置噪声阵，是后续滤波与批处理估计能够收敛并达到预期精度的前提。