2. 卫星轨道与链路几何建模

链路预算的第一步不是算功率，而是先回答一个几何问题：某一时刻卫星在哪里、地面站看它是哪个方向、两者相距多远、相对速度带来多大的频率偏移。这四个量分别对应轨道参数、仰角/方位角、星地距离和多普勒频移，它们共同构成动态几何场景的骨架。本节以 Python 与 STK 两条实现路径为主线，把参数定义、计算过程和结果判读串起来。

一、轨道参数：从六根数到瞬时位置

描述卫星轨道最常用的是开普勒六根数：半长轴 a、偏心率 e、轨道倾角 i、升交点赤经 Ω、近地点幅角 ω、真近点角 ν。前五个决定轨道形状与空间朝向，ν 决定卫星在轨道上的瞬时位置。对于圆轨道（e≈0），近地点幅角失去意义，常用“纬度幅角 u = ω + ν”替代。工程上更常直接给出轨道高度 h 与倾角 i，例如 LEO 遥感卫星 h=550 km、i=97.6°（太阳同步），GEO 通信卫星 h=35786 km、i≈0°。

由 a = R_e + h（R_e=6378.137 km）可得平均角速度 n = √(μ/a³)，μ=398600.4418 km³/s²。以 550 km 轨道为例，a=6928.137 km，n≈1.106×10⁻³ rad/s，对应周期 T=2π/n≈5681 s≈94.7 min。这个周期决定了单站可见窗口的长度量级，是后续仰角计算的输入。

在 Python 中可用 skyfield 或 poliastro 直接由 TLE/根数生成 ECI 位置速度；在 STK 中则通过 Satellite 对象的 Keplerian 传播器录入六根数，并设置场景历元（如 2025-01-01 00:00:00 UTC）。两者都需要明确坐标系：ECI（J2000 惯性系）用于轨道动力学，ECEF（地固系）用于星下点与地面几何。

二、星下点轨迹：把三维轨道投影到地面

星下点是卫星与地心连线与地球表面的交点，其经纬度由 ECEF 位置矢量直接得到：纬度 φ = arcsin(z/r)，经度 λ = atan2(y, x)。由于地球自转，惯性系下的轨道在 ECEF 中表现为星下点轨迹持续西移。对 550 km、i=97.6° 的太阳同步轨道，星下点轨迹近似南北向、每圈西移约 24.6°（360°×T/86400），相邻轨迹间距约 2700 km（赤道处）。

星下点轨迹的价值在于判断覆盖：地面站是否落在轨迹带内、单圈可见弧段有多长、重访周期是多少。在 STK 中可用 Ground Track 报告或 2D 地图窗口直接观察；在 Python 中把 ECEF 经纬度序列画到 cartopy 底图上即可。需要注意，星下点轨迹只反映垂直投影，不等于可见范围——真正的可见性由仰角门限决定。

三、仰角与方位角：地面站视角的几何计算

仰角 θ 是视线与当地水平面的夹角，方位角 φ 是视线在水平面上的投影相对正北的顺时针夹角。计算前必须先约定坐标系：本文采用站心 ENU（东-北-天）坐标系，方位角从正北起算、顺时针为正，仰角向上为正。设地面站 ECEF 位置为 r_g，卫星 ECEF 位置为 r_s，则站心矢量 ρ = r_s − r_g，再经旋转矩阵转到 ENU：

E = -sinλ·Δx + cosλ·Δy
N = -sinφ·cosλ·Δx - sinφ·sinλ·Δy + cosφ·Δz
U =  cosφ·cosλ·Δx + cosφ·sinλ·Δy + sinφ·Δz

仰角 θ = atan2(U, sqrt(E² + N²))
方位角 φ = atan2(E, N)   # 结果归一到 [0°, 360°)
距离   d = sqrt(E² + N² + U²)

以地面站北京（39.9°N, 116.4°E）跟踪 550 km 太阳同步卫星为例，当卫星星下点位于站南约 800 km 时，仰角约 30°；当卫星接近地平线时仰角趋近 0°，此时距离约 2400 km。工程上通常设 5° 或 10° 仰角门限，低于门限即判定不可见，这直接决定可见窗口的起止时刻。

在 STK 中，通过 Access 计算即可得到地面站对卫星的可见弧段，并输出 Elevation、Azimuth、Range 报告；在 Python 中可用 skyfield 的 altaz() 方法直接得到仰角方位角，或用上述公式自行实现。两种方式都应校验同一时刻结果一致，偏差应小于 0.1°。

四、星地距离与多普勒频移

星地距离 d 由站心矢量模长直接得到。对 550 km 轨道，仰角 90° 时 d≈550 km，仰角 5° 时 d≈2400 km，变化范围接近 4 倍。距离变化率（径向速度 v_r）由相邻时刻距离差分得到，典型 LEO 最大径向速度约 ±7 km/s，GEO 则接近 0。

多普勒频移 f_d = −(v_r/c)·f_c。以 f_c=12 GHz、v_r=7 km/s 为例，f_d≈−280 kHz；卫星接近时为正、远离时为负，过顶时刻 v_r≈0、f_d≈0。对 QPSK 信号，若符号率为 1 Msps，280 kHz 偏移约占符号率的 28%，接收机必须做多普勒预补偿或使用宽捕获范围。

在 STK 中可通过 Doppler 报告或 Range Rate 数据计算；在 Python 中则对距离序列做数值微分，再代入公式。建议把仰角、距离、多普勒三条曲线画在同一时间轴上，观察它们的相位关系：仰角最大时距离最小、多普勒过零，这是判断几何模型是否正确的最直接依据。

五、动态几何场景的建立与校验

一个可复用的动态几何场景应包含：卫星对象（根数或 TLE）、地面站对象（经纬高）、时间范围与步长、可见性约束（仰角门限）、输出量（仰角、方位角、距离、距离变化率、多普勒）。在 STK 中按此顺序建立后，用 Access 得到可见弧段表；在 Python 中则用循环或向量化计算生成时间序列。

校验方法有三条：其一，检查星下点轨迹是否连续、无跳变；其二，检查仰角曲线是否在可见窗口内单调上升后下降；其三，检查多普勒在过顶时刻是否过零。若三者不一致，优先排查坐标系定义和历元设置，而不是怀疑公式本身。

下表给出一组教学示例参数（非实测），可用于快速搭建场景并验证计算链路：

把上述参数代入后，预期可观察到：单圈可见窗口约 8～12 min，最大仰角约 80°～90°，最大多普勒约 ±280 kHz，距离在 550～2400 km 之间变化。若结果偏离这一量级，应检查单位（km 与 m）、角度制（度与弧度）以及地球自转是否已计入 ECEF 转换。

完成本节后，你应当能够独立完成：由轨道根数生成 ECI/ECEF 位置、计算星下点轨迹、由站心矢量求仰角方位角与距离、由距离变化率求多普勒频移，并在 Python 与 STK 中交叉验证。这套几何链路是后续链路预算、天线指向和频率补偿的共同基础。