2. 无人系统运动学与动力学建模

航迹规划算法真正“看见”的世界，并不是真实平台的全部物理细节，而是一组被抽象过的状态量与约束。建模的任务，就是决定哪些量必须保留、哪些量可以忽略，使规划器既能算出可行航迹，又不至于被复杂动力学拖垮。本节围绕固定翼、多旋翼、无人车、无人艇四类平台，说明从完整动力学到规划可用简化模型的降维思路，并给出可直接用于规划器的约束表达。

一、统一的状态描述与坐标系约定

为便于跨平台比较，先固定参照约定：采用东北天（ENU）惯性坐标系，x 轴指东、y 轴指北、z 轴指天；机体坐标系 x 轴指前、y 轴指右、z 轴指下。位置记为 p=(x,y,z)，航向角 ψ 以 x 轴为起点逆时针为正，航迹倾角 γ 以水平面为起点向上为正。全文与图示均遵循该约定，切换参照系时会明确说明。

规划器通常只关心三类量：位置、航向（或速度方向）、速度大小。因此简化建模的核心，是把六自由度刚体动力学压缩为“质点 + 运动学约束 + 少量动力学约束”的形式。

二、质点模型：规划器的最小可用状态

最简形式是二维/三维质点运动学模型。以三维为例，状态量为 (x,y,z,ψ,γ,V)，控制量为航向角速度、航迹倾角角速度和切向加速度：

x_dot = V·cosγ·cosψ
y_dot = V·cosγ·sinψ
z_dot = V·sinγ
ψ_dot = u_ψ,  γ_dot = u_γ,  V_dot = u_V

该模型不含质量、转动惯量与气动力，计算量小，适合 A*、RRT*、混合 A* 等采样或搜索类规划器。它的代价是忽略了转弯半径、爬升率等真实限制，因此必须配合下一节的约束模型使用。

三、约束模型：把物理限制写成规划可判定的条件

不同平台的约束差异极大，这是建模中最需要区分对待的部分。

• 固定翼：不能悬停，速度必须保持在失速速度 V_stall 与最大速度 V_max 之间；转弯受最大滚转角 φ_max 限制，最小转弯半径 R_min = V²/(g·tanφ_max)；爬升率受推力与升力限制。规划时通常把 R_min 作为曲率上界，把 V 作为状态量而非自由变量。
• 多旋翼：可悬停、可全向移动，但受最大速度、最大加速度、最大爬升率与倾角限制。常用二阶质点模型 p_ddot = a，约束 |a| ≤ a_max，并把偏航与平移解耦，适合最小 snap 多项式轨迹规划。
• 无人车：非完整约束，不能侧向平移，满足 x_dot·sinψ − y_dot·cosψ = 0；受最小转弯半径与前轮最大转角 δ_max 限制，R_min = L/tanδ_max（L 为轴距）。
• 无人艇：与无人车类似但工作在水平面，受最小转弯半径、最大航速与海况影响；低速时舵效下降，转弯半径随速度变化，规划时常用速度相关的 R_min(V) 表。

四、简化建模方法：从完整模型到规划模型

工程上常用的降维路径有三条。其一是时间尺度分离：姿态环响应远快于位置环，故规划只保留位置与航向，姿态由底层控制器跟踪。其二是约束投影：把动力学可达集投影到位置-速度空间，得到速度包线、加速度包线与曲率包线。其三是分段线性化：在参考航迹附近对非线性约束做一阶展开，用于凸优化类规划器。

以固定翼为例，若 V∈[15,30] m/s，φ_max=45°，则 R_min 在 V=20 m/s 时约为 20²/(9.81×1)=40.8 m。规划器只需把航迹曲率限制在 1/40.8≈0.0245 m⁻¹ 以内，即可保证可跟踪。多旋翼若 a_max=5 m/s²，则任意相邻航点的速度变化需满足 |Δv| ≤ a_max·Δt，这是最小 snap 规划中时间分配的硬约束。

五、建模精度与规划效率的权衡

模型越精细，规划结果越可跟踪，但计算量越大。实践中可按任务阶段选择：全局规划用质点模型快速搜索可行走廊；局部重规划用带约束的简化模型保证可跟踪性；轨迹后处理再用完整模型做一次校验。若校验不通过，则回退到局部重规划并收紧约束包线。

六、可直接使用的建模参数表（示例）

表中参数均为教学示例，实际使用时应以平台手册或系统辨识结果替换。建模完成后，建议用一组典型航段做“可跟踪性抽检”：把规划航迹送入底层控制器仿真，观察横向跟踪误差与速度跟踪误差是否收敛。若误差持续发散，说明简化模型丢失了关键约束，需要回到约束投影步骤补充。