2. 执行机构数学模型基础

飞控执行机构（舵机、电动作动器、推力矢量作动器等）的数学模型，是控制律设计、余度管理与故障诊断的共同基础。工程上并不存在“唯一正确”的模型，只有“在当前任务频段与工况下足够准确、且便于分析与实现”的模型。本节围绕四种表达方式——传递函数、状态空间、非线性环节、建模假设——说明它们各自回答什么问题、在什么场合使用，以及假设被破坏时会出现什么后果。

一、传递函数：面向频域与单入单出的“输入输出关系”

传递函数把线性时不变系统描述为复频域上的有理分式 G(s)=Y(s)/U(s)，前提是零初始条件。对执行机构而言，最典型的对象是“位置指令→舵面偏角”通道。以某电动舵机为例，忽略摩擦与齿隙时，可近似为二阶环节：

G(s) = ωn² / (s² + 2ζωn·s + ωn²)

示例参数（假设值，用于教学）：
ωn = 60 rad/s   （约 9.5 Hz 带宽）
ζ  = 0.7        （接近临界阻尼）
直流增益 K = 1 （指令 1° → 输出 1°）

这组参数直接决定三个工程指标：上升时间约 tr ≈ 1.8/ωn ≈ 30 ms；超调量由 ζ 决定，ζ=0.7 时约 4.6%；带宽约等于 ωn，意味着 9.5 Hz 以上的指令会被明显衰减和相位滞后。若把舵机接入 5 Hz 以上的姿态回路，就必须把该滞后计入相位裕度，否则地面试验正常、空中却出现等幅振荡。

传递函数的工程价值在于“可读”：极点位置对应响应快慢与振荡倾向，零点位置对应微分超前或滞后，直流增益对应稳态精度。它的局限同样明确——只能描述单输入单输出、线性、零初始条件。当执行机构存在电流限幅、齿隙或摩擦时，传递函数只是工作点附近的局部近似。

二、状态空间：面向多变量、初值与内部状态的“结构描述”

状态空间把系统写成 ẋ = Ax + Bu，y = Cx + Du。对同一舵机，取状态 x₁=θ（角度）、x₂=ω（角速度），则：

A = [ 0    1  ]      B = [ 0  ]
    [-ωn² -2ζωn]         [ωn²]

C = [1 0]            D = [0]

状态空间的优势有三点。第一，初值可显式给出：若上电时舵面停在 5°，则 x₁(0)=5°，仿真能直接反映“从非零位置回中”的过程，而传递函数默认从零开始。第二，便于扩展为多变量模型：把电机电流、母线电压、温度作为附加状态，可统一描述电气—机械耦合。第三，便于现代控制方法（LQR、观测器、卡尔曼滤波）直接使用，也便于在余度架构中做状态一致性比较——两套通道的角度、角速度估计若偏差超过阈值，即可判定传感器或作动器异常。

代价是模型维度上升、参数辨识工作量增大，且对建模人员要求更高。工程上常见做法是：控制律设计用状态空间，频域校核与试验判据用传递函数，两者互为验证。

三、非线性环节：真实执行机构无法回避的“边界行为”

执行机构中至少存在四类非线性，它们不是“误差”，而是物理必然：

• 饱和（限幅）：舵面偏角受机械止动限制，如 ±25°；电流受功率级限制。饱和使大指令下等效增益下降，回路带宽降低，可能引发极限环。
• 速率限制：液压或电机驱动存在最大角速率，如 200 °/s。速率限制引入相位滞后，是“指令大、响应跟不上”的主因。
• 齿隙（回差）：齿轮传动间隙导致换向时出现死区，典型 0.2°～0.5°。表现为小信号抖动、极限环和零位漂移。
• 摩擦：库仑摩擦与粘滞摩擦叠加，低速时出现爬行，影响小指令分辨率。

处理方式分两类：一是“建模补偿”，如用描述函数估算极限环幅值与频率，或在控制律中加入摩擦前馈；二是“设计规避”，如限制指令速率、设置死区补偿、提高位置环增益但保留足够相位裕度。判断非线性是否可忽略，常用准则是：在工作频段与幅值范围内，非线性引起的等效增益变化不超过 10%～20%。

四、建模假设：决定模型“能用在哪”的边界条件

任何模型都建立在假设之上。执行机构建模中常见的假设包括：小信号线性化、刚性连接、忽略齿隙与摩擦、忽略电机电感动态、温度恒定、供电电压理想。这些假设在下列情况会被破坏：大机动指令（进入饱和）、低温启动（摩擦增大）、长线缆供电（电压跌落）、磨损后齿隙扩大。

工程意义在于：假设必须与验证条件绑定。例如，若模型假设“忽略齿隙”，则试验中应检查换向死区是否小于 0.1°；若假设“供电理想”，则应在最低母线电压下复测带宽。模型不是越复杂越好，而是“假设清晰、边界明确、可被试验证伪”。

五、四种表达的协同关系

下图给出同一执行机构在“指令—电气—机械—反馈”链路上，四种模型表达各自的作用位置与相互关系。传递函数与状态空间描述线性主体，非线性环节叠加在物理边界上，建模假设则约束整个模型的有效域。

把四种表达放在同一张图上，可以看清工程建模的实际顺序：先明确任务频段与幅值范围，据此选择线性主体（传递函数或状态空间）；再识别在该范围内不可忽略的非线性，叠加到物理边界；最后写出假设清单，并为每条假设设计一项可执行的验证试验。模型交付时，应同时交付这三部分，而不是只给出一组参数。

小结：传递函数回答“输入输出在频域上如何映射”，状态空间回答“内部状态如何演化、初值如何影响”，非线性环节回答“边界处会发生什么”，建模假设回答“这套模型在什么条件下可信”。四者共同构成执行机构数学模型的工程可用性，缺一不可。