📚 课程目录第4章传感器故障的建模方法

4. 传感器故障的建模方法

在飞行器导航系统中，故障检测算法的设计不能只依赖“传感器坏了”这种定性描述，而必须把故障转化为可计算、可注入、可复现的数学形式。故障建模的任务，就是回答三个问题：故障以什么方式叠加到系统上、故障随时间如何演化、故障模型如何与飞行器/导航系统模型结合。只有把这三件事说清楚，后续的残差生成、阈值设计和故障隔离才有统一的数学基础。

一、故障的数学表示

导航传感器通常可用如下输出方程描述：

y(t) = h(x(t), u(t)) + f(t)

其中 y(t) 是传感器量测输出，x(t) 是飞行器状态（姿态、速度、位置等），u(t) 是输入，h(·) 是理想量测函数，f(t) 即故障信号。当 f(t)=0 时表示无故障；f(t)≠0 时表示传感器偏离正常行为。更一般地，故障也可出现在状态方程中：

ẋ(t) = A x(t) + B u(t) + E f(t)
y(t)  = C x(t) + D u(t) + F f(t)

矩阵 E、F 称为故障影响矩阵，决定故障从哪个通道进入系统、影响哪些状态或量测。对导航传感器而言，F 往往直接对应某个传感器通道，例如陀螺仪三轴、加速度计三轴、GNSS 位置/速度、气压高度、磁强计等。故障建模的第一步，就是明确故障作用点、作用方向和量纲。

二、加性故障与乘性故障

按故障与正常信号的组合方式，可分为加性故障和乘性故障。

加性故障表现为与正常输出无关的独立附加项：

y(t) = y_nominal(t) + f(t)

典型例子是陀螺零偏、加速度计常值偏置、GNSS 位置阶跃偏移。加性故障不随输入幅值变化，即使飞行器静止，故障依然存在，因此较容易通过残差均值检测。

乘性故障表现为对正常输出的比例缩放或增益变化：

y(t) = (1 + k(t)) · y_nominal(t)

典型例子是陀螺标度因数误差、空速管增益偏差、磁强计比例因子异常。乘性故障的幅值随正常信号大小变化，在小信号时可能难以察觉，在大机动或高动态时却会显著放大，因此检测时需结合激励水平判断。

实际传感器故障常是两者的组合：

y(t) = (1 + k(t)) · y_nominal(t) + b(t)

其中 b(t) 为加性偏置，k(t) 为乘性增益误差。建模时应分别估计或设定两者的范围，避免把增益误差误判为偏置。

三、突变故障与缓变故障

按时间演化规律，故障又可分为突变故障与缓变故障。

突变故障在某一时刻发生跳变，常用阶跃函数表示：

f(t) = A · 1(t - t_f)

其中 A 为故障幅值，t_f 为故障发生时刻。例如陀螺输出突然卡死、GNSS 信号瞬间丢失、磁强计受到强磁干扰。突变故障在残差上表现为明显跳变，检测及时性要求高，但误报风险相对较低。

缓变故障随时间缓慢漂移，常用斜坡或指数形式表示：

f(t) = r · (t - t_f) · 1(t - t_f)
f(t) = A · (1 - e^{-(t-t_f)/τ}) · 1(t - t_f)

其中 r 为漂移率，τ 为时间常数。缓变故障早期幅值小，容易被噪声和模型误差掩盖，是导航系统中最难检测的一类故障。工程上常采用滑动窗口残差均值、累积和（CUSUM）或广义似然比来提升缓变故障的检测灵敏度。

下面这张图把加性/乘性、突变/缓变四类故障在残差上的典型形态并列展示，便于对照理解。

四、故障模型与系统模型的融合

故障模型只有嵌入系统模型后，才能用于检测与隔离。融合方式主要有三种。

第一种是扩展状态法。把故障当作附加状态，与原有状态一起估计。例如对陀螺零偏 b_g，可建立：

ẋ = A x + B u + E b_g
ḃ_g = 0        （常值偏置假设）
y  = C x + b_g + v

通过卡尔曼滤波器同时估计 x 和 b_g，估计出的 b_g 偏离零即视为故障。该方法适合缓变故障和可建模的加性故障。

第二种是残差注入法。先设计观测器或滤波器得到状态估计 x̂，再构造残差：

r(t) = y(t) − C x̂(t)

无故障时 r(t) 仅含噪声和模型误差；有故障时 r(t) 出现偏离。故障模型 f(t) 通过影响矩阵 F 进入残差：

r(t) = F f(t) + 噪声 + 模型误差

据此可设计阈值或统计检验。该方法结构清晰，是导航系统中最常用的融合方式。

第三种是等价空间法。利用系统输入输出之间的解析冗余关系构造残差，使残差在无故障时理论上为零，从而直接反映故障。它不依赖状态估计，但对模型精度要求较高。

实际工程中，常把三种方式结合：用扩展状态法估计缓变偏置，用残差注入法检测突变故障，用等价空间法处理特定通道的解析冗余。融合的关键是保证故障影响矩阵 E、F 与真实传感器通道一一对应，否则会出现“检测到异常但无法定位到具体传感器”的问题。

故障建模的实用检查顺序：先确定故障作用点（哪个传感器、哪个轴），再确定组合方式（加性/乘性），然后确定时间形态（突变/缓变），最后选择融合方式（扩展状态/残差注入/等价空间）。四步中任何一步含糊，都会导致后续阈值设计失去依据。

注意：乘性故障在小信号段残差很小，若只用固定阈值，容易漏检；而缓变故障在早期与模型误差难以区分，若阈值过小，又会把正常漂移误报为故障。因此故障模型必须与噪声模型、模型误差界一起考虑，不能孤立设定。

以某型无人机导航系统为例，假设陀螺 x 轴在 t_f = 120 s 出现加性突变故障，幅值 A = 0.8 °/s。若采样周期为 10 ms，残差在 120 s 后由零均值噪声跳变为约 0.8 °/s 的偏置。若采用 3σ 阈值且噪声标准差为 0.05 °/s，则阈值约为 0.15 °/s，故障发生后约 1～2 个采样周期即可触发报警。若同样幅值的故障以 r = 0.01 °/s² 缓变出现，则需约 80 s 才能达到同一阈值，此时必须依靠累积和等统计方法提前发现。这个对比说明：故障的数学表示直接决定了检测算法的选择与性能边界。

综上，故障建模不是简单的“加一个误差项”，而是要把故障的作用位置、组合方式、时间演化和系统融合路径统一到同一套状态空间描述中。只有模型与真实故障机理一致，后续的检测、隔离与重构才有可靠依据。