3. 故障检测的数学基础

飞行器导航传感器故障检测之所以不能靠“看曲线是否异常”来完成，根本原因在于：传感器输出本身带有噪声，飞行状态又在不断变化，残差（测量值与估计值之差）天然具有随机性。要判断“这个偏差是噪声还是故障”，必须借助一套数学工具把随机性量化，把判断规则固化。本节围绕五类数学基础展开：概率统计给出噪声与阈值的语言，假设检验给出判决规则，状态估计给出残差来源，信号处理给出特征提取手段，线性代数与矩阵运算则提供多传感器融合与可观测性分析的计算骨架。

概率统计：把“正常波动”变成可量化的分布

导航传感器误差通常建模为随机变量。以陀螺仪零偏为例，若在某温度点下采集 N 个静止样本，可计算均值与标准差：

样本: ω = [0.012, -0.008, 0.015, 0.003, -0.011, ...]  (单位: °/s)
均值 μ = Σωᵢ / N
标准差 σ = sqrt( Σ(ωᵢ-μ)² / (N-1) )

假设某 MEMS 陀螺静止采样 200 点，计算得 μ=0.004 °/s、σ=0.010 °/s。若残差近似服从正态分布，则约 99.7% 的正常样本落在 μ±3σ 内，即 ±0.034 °/s。于是可设阈值 T=3σ。当连续多个残差超过 T，才判为异常——这就是“3σ 准则”的工程用法。需要注意：σ 必须来自同一温度、同一量程、同一滤波配置下的正常数据，否则阈值会失真。概率统计还提供虚警率（误报）与漏检率的概念：阈值调低，虚警增多；阈值调高，漏检增多，二者需要折中。

假设检验：把“是否故障”变成可判决的命题

假设检验把故障检测形式化为两个命题：H₀ 表示“无故障”，H₁ 表示“有故障”。常用统计量是残差 r 的归一化形式：

z = r / σ_r
若 |z| > z_{α/2}，拒绝 H₀，判为故障

其中 α 为显著性水平，例如 α=0.01 时 z_{α/2}≈2.58。工程上更常用序贯概率比检验（SPRT）：不断累积对数似然比，当累积值超过上界判故障，低于下界判正常，介于两者之间继续观测。SPRT 的优点是能在保证相同虚警/漏检指标下，用更少的样本做出判决，适合机载实时环境。另一种是广义似然比（GLR），它不要求故障幅值已知，而是先估计最可能的故障幅值再构造检验统计量，适合突变型故障。

状态估计：残差从哪里来

残差是故障检测的“燃料”。以卡尔曼滤波为例，系统状态方程与量测方程为：

xₖ = F xₖ₋₁ + B uₖ₋₁ + wₖ₋₁,  w ~ N(0, Q)
zₖ = H xₖ + vₖ,                  v ~ N(0, R)

预测步得到先验估计 x̂ₖ⁻ 与协方差 Pₖ⁻；更新步计算新息（残差）rₖ = zₖ - H x̂ₖ⁻，新息协方差 Sₖ = H Pₖ⁻ Hᵀ + R，卡尔曼增益 Kₖ = Pₖ⁻ Hᵀ Sₖ⁻¹。正常时 rₖ 应近似零均值白噪声；若某传感器发生缓变故障，rₖ 会出现持续偏移；若发生突变，rₖ 会出现尖峰。因此，对 rₖ 做统计检验，就能把“状态估计”转化为“故障检测”。这里 Q 和 R 的取值直接决定滤波器对残差的敏感度：R 偏大，滤波器更信任模型，残差对传感器故障更敏感，但也更容易虚警。

信号处理：从时域到频域的特征提取

有些故障在时域残差上不明显，但在频域有特征。例如，陀螺仪轴承磨损会在特定频率产生周期性扰动。对残差序列做快速傅里叶变换（FFT），观察幅值谱中是否出现异常峰值，可辅助定位故障。工程中常用滑动窗 FFT：取 256 点残差，加汉宁窗，计算功率谱密度，若某频点幅值超过正常基线 6 dB 以上，则标记为可疑。小波变换则适合检测突变点：对残差做多尺度分解，若某尺度细节系数出现模极大值，说明该时刻存在突变。信号处理不直接给出“故障/正常”结论，而是把原始残差转换成更易判决的特征向量。

线性代数与矩阵运算：多传感器联合判决的骨架

当飞行器同时装有 GPS、INS、气压高度表、磁力计时，残差不再是标量而是向量。此时需要矩阵运算来完成联合检验。设残差向量 r ∈ Rᵐ，其协方差为 S，则马氏距离平方为：

d² = rᵀ S⁻¹ r

在 H₀ 下 d² 服从自由度为 m 的卡方分布。若 d² > χ²(m, α)，则判为故障。矩阵 S⁻¹ 的作用是“白化”：把不同量纲、不同噪声水平的残差归一化到同一尺度。进一步，若已知故障方向矩阵（例如某传感器故障对应 H 的某一列），可用最小二乘投影估计故障幅值，实现故障隔离。可观测性分析则通过计算可观测性矩阵 O = [H; HF; HF²; …] 的秩，判断哪些状态或故障方向在数学上可被检测——若秩不足，说明存在不可观测的故障模式，再好的算法也无法检测。

一个可复现的教学示例

假设某无人机气压高度传感器在 t=10 s 时发生 5 m 的阶跃偏差。INS 提供高度估计，卡尔曼滤波残差 r 在故障前标准差 σ_r=0.8 m。取 α=0.01，阈值 z_{α/2}=2.58，对应残差阈值 T=2.06 m。故障发生后，残差迅速升至约 5 m，|z|=6.25 > 2.58，判决为故障。若采用 SPRT，设 H₁ 下故障幅值为 5 m，则对数似然比每步增量约为 (5²)/(2×0.8²)=19.5，约 1 步即可超过判决上界，比固定样本检验更快。这个示例说明：数学基础决定了检测的“灵敏度”和“速度”，而参数选择（σ、α、故障幅值假设）直接决定实际性能。

总结来看，概率统计回答“正常波动有多大”，假设检验回答“何时判故障”，状态估计回答“残差怎么来”，信号处理回答“特征怎么提”，线性代数回答“多传感器怎么合”。五类工具各司其职，共同构成飞行器导航传感器故障检测的数学底座。