4. 纵向通道控制律设计

纵向通道是无人飞行器控制律设计中最基础、也最能体现控制结构层次的部分。它同时涉及姿态与轨迹两类被控量：俯仰角速率 \(q\) 决定短周期姿态响应，俯仰角 \(\theta\) 决定姿态基准，而速度 \(V\) 与高度 \(h\) 则属于长周期轨迹变量。若把这三层混在一个回路里设计，往往会出现“姿态响应快但高度振荡”或“高度稳定但迎角超限”的问题。因此工程上通常采用分层回路：内环稳姿态、中环控俯仰角、外环管速度与高度，再根据任务需求选择 PID、LQR 或动态逆等设计方法。

一、纵向通道的回路分层与信号关系

先明确符号与坐标系约定：本文采用机体轴系，俯仰角 \(\theta\) 以抬头为正，俯仰角速率 \(q\) 以抬头为正，升降舵偏度 \(\delta_e\) 以后缘下偏产生抬头力矩为正。纵向短周期近似可写为：

q̇ = M_α·α + M_q·q + M_δe·δ_e
α̇ = Z_α·α + q + Z_δe·δ_e
θ̇ = q

其中 \(M_\alpha\)、\(M_q\)、\(M_{\delta e}\) 为俯仰力矩导数，\(Z_\alpha\)、\(Z_{\delta e}\) 为法向力导数。内环以 \(q\) 为被控量，输入是升降舵；中环以 \(\theta\) 为被控量，输入是 \(q\) 指令；外环以 \(h\) 或 \(V\) 为被控量，输入是 \(\theta\) 指令或油门。三层回路的带宽应逐层递减，一般内环带宽是中环的 3～5 倍，中环是外环的 3～5 倍，避免外环指令激发内环未建模动态。

二、内环俯仰角速率：PID、LQR 与动态逆的取舍

内环被控对象近似为二阶短周期模型。若采用 PID，最直接的形式是：

δ_e = K_p·(q_c − q) + K_i·∫(q_c − q)dt − K_q·q

其中 \(K_q\) 相当于角速率阻尼项，用于补偿 \(M_q\) 不足。以某小型固定翼为例，短周期自然频率约 3 rad/s、阻尼比约 0.35，若希望内环阻尼比提升到 0.7、带宽约 8 rad/s，可取 \(K_p \approx 0.8\)、\(K_q \approx 0.25\)、\(K_i \approx 0.15\)。这些数值属于教学示例，实际需根据气动数据与舵面效率重新整定。PID 的优点是结构简单、易于在飞控中实现；缺点是增益随动压变化明显，低速时舵效下降会导致响应变慢，高速时又容易过冲。

LQR 则从状态空间出发，把 \([q, \alpha]^T\) 作为状态，通过求解 Riccati 方程得到最优反馈增益 \(K\)，使二次型代价 \(J=\int (x^TQx + u^TRu)dt\) 最小。工程上常取 \(Q=\mathrm{diag}(100, 10)\)、\(R=1\)，得到的增益会同时兼顾角速率跟踪与迎角抑制。LQR 的优点是能显式处理多状态耦合，且可通过调节 \(Q\)、\(R\) 权衡响应速度与控制量；缺点是需要较准确的线性模型，且对模型摄动和舵面故障的鲁棒性有限。

动态逆方法则直接利用反馈线性化：由 \(q̇ = M_\alpha \alpha + M_q q + M_{\delta e}\delta_e\)，令期望闭环为 \(q̇ = \omega_q(q_c - q)\)，可解出

δ_e = [ω_q(q_c − q) − M_α·α − M_q·q] / M_δe

只要 \(M_{\delta e}\) 估计准确，就能把原非线性对象近似补偿为一级惯性环节，带宽由 \(\omega_q\) 直接设定。动态逆的优点是物理意义清晰、可处理非线性与耦合；缺点是对模型误差和舵面饱和敏感，实际中常与自适应或鲁棒项结合使用。

三、中环俯仰角与外环高度/速度的协调

中环把俯仰角误差转换为角速率指令，典型形式为 \(q_c = K_\theta(\theta_c - \theta) + K_{ff}\dot{\theta}_c\)，其中前馈项用于提高指令跟踪的相位裕度。若外环给出高度指令 \(h_c\)，高度控制器通常先计算高度误差 \(\Delta h = h_c - h\)，再生成俯仰角指令：

θ_c = K_h·Δh + K_{ḣ}·(ḣ_c − ḣ) + K_{∫h}·∫Δh dt

这里 \(\dot{h}\) 可由高度微分或惯导垂速获得。速度通道则通过油门控制：\( \delta_T = K_V(V_c - V) + K_{∫V}\int(V_c - V)dt \)。高度与速度之间存在强耦合——拉杆爬升会损失速度，加油门加速又会引起抬头。因此外环设计时必须做协调：通常让高度回路带宽低于速度回路，或在高度指令中引入速度补偿项，避免“高度追速度、速度追高度”的振荡。

四、一个可复现的整定与验证示例

假设某无人机纵向线性模型在巡航点 \(V=25\ \mathrm{m/s}\)、\(h=500\ \mathrm{m}\) 处，短周期参数为 \(M_\alpha=-4.5\)、\(M_q=-0.9\)、\(M_{\delta e}=-12\)、\(Z_\alpha=-1.8\)、\(Z_{\delta e}=-0.3\)。按以下步骤整定：

1. 内环取 \(\omega_q=8\ \mathrm{rad/s}\)，用动态逆计算 \(\delta_e\)，并加入 \(K_i=0.1\) 消除稳态误差。
2. 中环取 \(K_\theta=2.2\)、\(K_{ff}=0.8\)，使俯仰角阶跃响应上升时间约 0.6 s、超调约 8%。
3. 外环高度取 \(K_h=0.012\)、\(K_{\dot h}=0.05\)、\(K_{\int h}=0.0008\)，速度取 \(K_V=0.06\)、\(K_{\int V}=0.004\)。
4. 在 10 s 时施加 \(h_c\) 阶跃 +50 m，在 30 s 时施加 \(V_c\) 阶跃 +3 m/s，记录 \(q\)、\(\theta\)、\(\alpha\)、\(V\)、\(h\) 的响应。

判断依据：内环 \(q\) 应在 0.5 s 内跟踪指令且无持续振荡；中环 \(\theta\) 超调不超过 15%；外环高度应在 8～12 s 内进入 ±2 m 误差带，速度波动不超过 ±1 m/s，迎角全程不超过 12°。若高度响应出现低频振荡，优先降低 \(K_h\) 或增大 \(K_{\dot h}\)；若速度恢复过慢，可适当提高 \(K_V\)，但需同步检查油门限幅。

综上，纵向通道控制律设计的核心是“分层解耦、带宽递减、逐层验证”。PID 适合快速实现与工程整定，LQR 适合多状态协调与性能优化，动态逆适合非线性强、耦合明显的对象。三者并非互斥，实际飞控中常以动态逆或 LQR 设计内环，以 PID 构建外环，从而在鲁棒性、实现复杂度与飞行品质之间取得平衡。