2. 无人飞行器动力学建模

控制律设计的起点不是控制器结构，而是被控对象的动力学模型。无人飞行器（UAV）的动力学建模需要回答四个问题：在哪个坐标系里描述运动、刚体如何运动、气动力/力矩从哪来、执行机构如何把控制指令变成力和力矩。本节围绕这四层展开，并给出面向控制律设计的简化与线性化方法。

一、坐标系定义与一致性约定

建模前必须先固定坐标系约定，否则后续方程的正负号会混乱。常用三套坐标系：

• 地面惯性系 O_eX_eY_eZ_e：原点取地面某点，X_e指北、Y_e指东、Z_e指地，用于描述位置和航向。
• 机体坐标系 O_bX_bY_bZ_b：原点取飞行器质心，X_b指机头、Y_b指右翼、Z_b指机腹，用于描述气动力、力矩和角速度。
• 气流坐标系（速度系）：X_a沿速度矢量，用于定义迎角 α 和侧滑角 β。

姿态用欧拉角（滚转 φ、俯仰 θ、偏航 ψ）描述，旋转顺序取 Z-Y-X（偏航→俯仰→滚转）。角速度 p、q、r 分别对应机体轴 X_b、Y_b、Z_b。全文及图示均采用此约定：φ、p 绕 X_b，θ、q 绕 Y_b，ψ、r 绕 Z_b，正方向按右手定则。

二、刚体六自由度运动方程

刚体运动分为质心平动和绕质心转动。平动方程在机体轴下写为：

m( V̇ + Ω × V ) = F
其中 V = [u, v, w]ᵀ，Ω = [p, q, r]ᵀ，F = [F_x, F_y, F_z]ᵀ

展开后即三个分量方程，例如纵向：m( u̇ + qw − rv ) = F_x。转动方程用角动量定理：

I Ω̇ + Ω × ( I Ω ) = M
I 为惯性矩阵，M = [L, M, N]ᵀ 为滚转、俯仰、偏航力矩

若机体轴与惯性主轴重合，I 为对角阵 diag(I_x, I_y, I_z)，方程简化为：

I_x ṗ − (I_y − I_z) q r = L
I_y q̇ − (I_z − I_x) r p = M
I_z ṙ − (I_x − I_y) p q = N

运动学方程把角速度与欧拉角变化率联系起来，例如 θ̇ = q cosφ − r sinφ。这组方程是非线性的，且存在 Ω×V 和 Ω×(IΩ) 的耦合项，这正是控制律设计需要处理的核心难点。

三、气动力与力矩模型

气动力在气流系下通常写成无量纲系数形式。以升力、阻力、侧力为例：

L = q̄ S C_L,  D = q̄ S C_D,  Y = q̄ S C_Y
q̄ = ½ ρ V² 为动压，S 为参考机翼面积

力矩同样用系数表示：

L_m = q̄ S b C_l,  M_m = q̄ S c̄ C_m,  N_m = q̄ S b C_n
b 为翼展，c̄ 为平均气动弦长

系数是迎角 α、侧滑角 β、马赫数 Ma、舵面偏度 δ_e（升降舵）、δ_a（副翼）、δ_r（方向舵）以及无量纲角速度的函数。在小迎角范围内可线性化：

C_L = C_L0 + C_Lα α + C_Lδe δ_e + (c̄/2V) C_Lq q
C_m = C_m0 + C_mα α + C_mδe δ_e + (c̄/2V) C_mq q
C_l = C_lβ β + C_lδa δ_a + (b/2V)(C_lp p + C_lr r)
C_n = C_nβ β + C_nδr δ_r + (b/2V)(C_np p + C_nr r)

这些导数（C_Lα、C_mα、C_mδe 等）是控制律设计的关键参数。例如 C_mα 为负表示纵向静稳定，C_mδe 决定升降舵效率。实际建模时，这些导数可通过风洞试验、CFD 或 DATCOM 类工程方法获取，并需注明来源与适用包线。

四、执行机构模型

执行机构把控制指令 u_cmd 转换为实际舵面偏度 δ。常见模型为带速率限幅和位置限幅的一阶惯性环节：

δ̇ = (1/τ)(δ_cmd − δ),  |δ| ≤ δ_max,  |δ̇| ≤ δ̇_max
τ 为舵机时间常数，典型值 0.02～0.1 s

对于多旋翼，执行机构是电机+螺旋桨，模型为：

T = k_T ω²,  Q = k_Q ω²
ω 为转速，T 为拉力，Q 为反扭矩

电机动态常用一阶模型 ω̇ = (1/τ_m)(ω_cmd − ω)，τ_m 约 0.05～0.2 s。执行机构的带宽和限幅直接影响控制律可达到的相位裕度和抗饱和设计。

五、面向控制律设计的简化与线性化

完整六自由度模型适合高保真仿真，但直接用于控制律设计过于复杂。工程上通常做以下简化：

• 纵向/横航向解耦：当滚转角和侧滑角较小时，纵向运动（u, w, q, θ）与横航向运动（v, p, r, φ, ψ）之间的耦合项可忽略，分别设计纵向和横航向控制律。
• 忽略 Ω×V 中的小量：在低速小角速度条件下，qw、rv 等乘积项相对主项较小，可暂时略去以简化方程结构。
• 舵机视为纯增益：当舵机带宽远高于控制回路带宽（通常 5～10 倍）时，δ ≈ δ_cmd，执行机构动态可暂不纳入设计模型，仅在鲁棒性验证时加入。

线性化的标准做法是在配平点附近做小扰动。以纵向为例，选取配平状态 x₀ = [u₀, w₀, q₀=0, θ₀] 和配平输入 u₀ = [δ_e0, δ_t0]，对非线性方程求雅可比矩阵：

A = ∂f/∂x |_(x0,u0),  B = ∂f/∂u |_(x0,u0)
得到 ẋ = A Δx + B Δu

以某小型固定翼教学示例为例（参数为合理假设，非实测）：m = 5 kg，S = 0.5 m²，c̄ = 0.3 m，I_y = 0.3 kg·m²，V₀ = 20 m/s，ρ = 1.225 kg/m³。配平后计算得 q̄ = 245 Pa，C_L0 + C_Lαα₀ ≈ 0.4。取 C_Lα = 4.5 /rad，C_mα = −0.8 /rad，C_mδe = −1.2 /rad，C_mq = −12。代入后可得到纵向短周期近似：

ω_n ≈ sqrt( −q̄ S c̄ C_mα / I_y )
     = sqrt( −245×0.5×0.3×(−0.8) / 0.3 ) ≈ 9.9 rad/s
ζ ≈ −(C_mq + C_mα) / (2 ω_n) 量级约 0.3～0.5

该结果说明：短周期频率约 10 rad/s，阻尼偏弱，控制律设计时需通过俯仰阻尼反馈或增稳回路把 ζ 提升到 0.6～0.8。这就是线性化模型直接服务于控制律参数整定的典型路径。

完成上述四层建模与线性化后，控制律设计就有了明确的被控对象：状态量、输入量、配平点和线性模型。后续的 PID、LQR 或增益调度设计，都建立在这一模型基础之上。