2. 执行机构数学模型
无人飞行器的姿态控制最终要落到执行机构上：舵机改变气动舵面偏角，无刷电机改变螺旋桨转速。控制器输出的PWM或电流指令，必须经过执行机构自身的电气与机械动态，才能变成真实的力矩或推力。如果建模时把执行机构当成理想比例环节，控制器在仿真里表现良好，上机后却可能出现相位滞后、超调甚至振荡。本节围绕两类典型执行机构，建立从电压指令到机械输出的数学描述，并说明模型参数如何影响控制性能。
一、建模的参照约定与总体思路
为避免符号混乱，先统一约定：舵机以舵面偏角 δ 为输出，规定舵面下偏为正；无刷电机以转子角速度 ω 为输出，规定逆时针为正。电气侧以输入电压 u 为激励，电流 i 为中间变量。建模的基本思路是“电气方程决定电流，电流产生电磁力矩，机械方程决定运动，负载特性决定平衡点”，最终把电气与机械两个子系统耦合为一个传递函数。
二、典型舵机的数学模型
舵机内部是直流电机加齿轮减速器和位置反馈电位器，外部表现为“给占空比、出角度”。其电气方程为：
u = R·i + L·(di/dt) + Ke·(dθm/dt)其中 R 为电枢电阻，L 为电枢电感，Ke 为反电动势系数，θm 为电机轴角。机械方程为：
Jm·(d²θm/dt²) = Kt·i − Bm·(dθm/dt) − TLKt 为转矩系数，Jm 为折算到电机轴的转动惯量，Bm 为黏性阻尼系数，TL 为负载力矩。经减速比 N 折算到舵面侧，θ = θm/N，负载惯量和阻尼按 N² 折算。忽略电感 L（小舵机 L 通常只有几十微亨，电气时间常数远小于机械时间常数）后，可得从输入电压到舵面偏角的近似传递函数：
G(s) = δ(s)/u(s) = K / [s(Tm·s + 1)]其中 K 为静态增益，Tm 为机械时间常数。这说明舵机在低频段近似积分特性，输入电压对应舵面角速度，位置由反馈闭环锁定。实际数字舵机还包含采样、死区和饱和，建模时常用“一阶惯性+纯延迟”近似：
G(s) ≈ K·e^(−τs) / (T·s + 1)τ 为等效延迟，典型数字舵机约 5～15 ms，T 约 20～60 ms。这两个参数直接决定舵机带宽，是后续控制器设计的关键。
三、无刷电机的数学模型
无刷电机通过电子换相把直流变为三相交流，但在平均意义下，其外特性与直流电机高度相似。以两相导通模型为例，电气方程为：
u = R·i + L·(di/dt) + Ke·ω机械方程为：
J·(dω/dt) = Kt·i − B·ω − TL与舵机不同，无刷电机通常由电流环驱动，控制器给出的是转速或力矩指令。若电流环带宽足够高，可认为 i 快速跟随指令，则从电流到转速的传递函数为：
ω(s)/i(s) = Kt / (J·s + B)若从电压到转速建模，则需保留电气动态，得到二阶传递函数：
ω(s)/u(s) = Kt / [ (L·s + R)(J·s + B) + Kt·Ke ]分母中的 Kt·Ke 体现了电磁与机械的耦合，它使系统阻尼增大、响应变慢。工程上常把电气时间常数 Te = L/R 与机械时间常数 Tm = J/B 作比较：Te 通常为 0.1～1 ms，Tm 为 10～100 ms，两者相差一到两个数量级，因此可对二阶模型降阶为一阶惯性环节。
四、负载特性与工作点
负载特性决定执行机构能否在给定指令下达到预期输出。舵机负载主要是气动铰链力矩，随偏角和动压增大而增大，可近似写为 TL = kq·q·δ，q 为动压。无刷电机负载主要是螺旋桨气动阻力矩，近似与转速平方成正比：TL = kp·ω²。把负载代入机械方程，可求出稳态工作点：舵机在最大铰链力矩下需要足够电流才能维持偏角，否则出现角度滞后；电机在给定电压下，转速由电压与负载曲线的交点决定。
负载特性对控制性能的影响体现在三个方面：一是负载增大使等效增益下降，位置环出现稳态误差；二是负载变化使系统极点移动，若控制器按空载整定，带载后可能超调；三是负载力矩超过执行机构能力时进入饱和，反馈失效，此时模型不再线性。
五、参数对控制性能的影响与建模检查
把上述模型用于控制器设计时，需要关注几个关键参数。舵机的 T 和 τ 决定位置环可用的带宽，一般位置环带宽取舵机带宽的 1/5～1/3；电机的时间常数和 Kt、Ke 决定速度环增益上限。若忽略电气动态，在电流环带宽不足时会导致电流跟踪滞后，进而使力矩指令失真。
建模完成后，建议做一次频域核对：绘制从输入到输出的伯德图，检查穿越频率和相位裕度是否与预期一致；再做一次时域核对：施加阶跃指令，观察上升时间、超调量和稳态误差是否与模型预测吻合。若偏差较大，优先检查负载折算、减速比和延迟参数是否准确。
六、建模示例与结果判读
以某小型数字舵机为例，假设其等效参数为 K = 1.2 (°/V)，T = 35 ms，τ = 8 ms。若控制器给出 1 V 阶跃指令，模型预测舵面在约 3T 后接近稳态，稳态偏角约 1.2°，上升时间约 77 ms。若实测上升时间明显大于该值，应检查负载是否过大或供电电压是否跌落。再以某无刷电机为例，假设 J = 2×10⁻⁵ kg·m²，B = 1×10⁻⁶ N·m·s/rad，Kt = 0.012 N·m/A，则从电流到转速的时间常数 Tm = J/B = 20 s，这显然不合理，说明 B 取值过小或未计入螺旋桨负载阻尼。实际建模时应把螺旋桨的等效阻尼折算进 B，使 Tm 落在 0.1～1 s 的合理范围。
把电气方程、机械方程和负载特性放在一起，执行机构模型才具备预测能力。后续控制器设计、带宽分配和故障诊断阈值，都建立在这组方程和参数之上。模型参数越接近真实对象，控制性能的预测就越可靠。