运动学基础：从质点到机器人

做轨迹规划这些年，我最大的体会是——不懂运动学，后面全是空中楼阁。你想想看，连你的机器人怎么动起来的都搞不清楚，怎么跟动态障碍物博弈？

这一章，咱们把运动学基础打扎实。从最简单的质点，到刚体，再到实际工程里最常见的阿克曼和差速模型。嗯，都是干货。

说白了，质点就是把物体看成一个点。不考虑形状，不考虑旋转，只关心它在哪儿和怎么动。

我个人习惯用状态向量来表示：

状态 = [x, y, vx, vy]   # 二维平面
或者
状态 = [x, y, θ, v]      # 带朝向和速度

核心公式就两个：

我在项目中遇到过一个问题：用质点模型做路径预测，结果在弯道处误差特别大。为什么？因为忽略了车辆的转向特性。所以记住——质点模型只适合直道或低速场景。

  避坑指南：我曾经用质点模型做高速避障，结果预测轨迹和实际差了2米多。后来换成刚体模型才解决问题。别偷懒，该用刚体就用刚体。

刚体比质点多了一个维度——朝向角 θ。你想想看，一辆车不光要走到某个位置，还得车头朝对方向才能停进去。

刚体运动学状态通常写成：

状态 = [x, y, θ, v, ω]   # ω 是角速度

运动方程：

这个模型在低速、大曲率场景下特别好用。比如自动泊车，用刚体模型做轨迹规划，效果比质点模型好太多。

我的经验：刚体模型有个隐含假设——车辆可以原地旋转。但实际车辆不行。所以刚体模型更适合描述无人机、全向轮机器人。

这才是真正的车辆运动学。阿克曼转向结构，说白了就是前轮转向、后轮驱动。前轮转角决定了转弯半径。

状态量：

状态 = [x, y, θ, v, δ]   # δ 是前轮转角

运动方程：

dx/dt = v * cos(θ)
dy/dt = v * sin(θ)
dθ/dt = v * tan(δ) / L   # L 是轴距
dδ/dt = ω_steer          # 转向角速度

这里有个关键点：转弯半径 R = L / tan(δ)。前轮转角越大，转弯半径越小。

注意：阿克曼模型假设车轮纯滚动、无侧滑。实际轮胎有侧偏角，高速时误差会变大。我建议在速度 < 5m/s 时放心用，再高就要考虑动力学了。

我记得有一次做园区无人车，用阿克曼模型规划路径，结果在急弯处老是偏离。后来发现是轴距参数标定不准。嗯，标定这事儿，真不能马虎。

差速模型常见于两轮平衡车、扫地机器人、AGV。它的特点是：左右轮独立驱动，通过速度差实现转向。

状态量：

状态 = [x, y, θ, v, ω]

运动方程：

dx/dt = v * cos(θ)
dy/dt = v * sin(θ)
dθ/dt = ω

其中：
v = (v_right + v_left) / 2
ω = (v_right - v_left) / W   # W 是轮距

差速模型最大的优势是可以原地旋转（v=0, ω≠0）。这在狭窄空间里特别有用。

  实战经验：我做仓储AGV时，差速模型配合纯追踪算法，在1.2米宽的通道里能完成90度转弯。但要注意——差速模型在高速时容易打滑，因为左右轮速度差会导致轮胎滑移。

模型	状态维度	能否原地旋转	适用场景	精度等级
质点模型	2~4	否	直道、低速、简单预测	低
刚体模型	4~5	是（假设）	无人机、全向轮、低速泊车	中
阿克曼模型	5	否	汽车、轮式机器人、园区物流	高
差速模型	4~5	是	AGV、扫地机、平衡车	中高

下面这张图，是我自己梳理的运动学知识体系。你照着这个框架学，不会乱。

选型建议：做低速AGV选差速模型，做高速无人车选阿克曼模型，做无人机选刚体模型。别搞混了，否则后面博弈算法会出大问题。

好了，运动学基础就讲到这里。这些模型是后续所有轨迹规划和博弈算法的底层支撑。你花时间把这一章吃透，后面学起来会轻松很多。

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