向量与矩阵基础：点积、叉积、矩阵乘法与逆矩阵

好，咱们接着聊。上一章我们把坐标变换的「世界观」搭好了，这一章得把「工具箱」备齐。

向量和矩阵，说白了就是机器人控制里的加减乘除。你想想看，机械臂要抓一个杯子，它得知道杯子在哪儿（向量），还得知道怎么转过去（矩阵）。这些运算搞不明白，后面的变换公式就是空中楼阁。

我个人习惯，先讲向量，再讲矩阵。因为矩阵本质上就是一堆向量排排坐。

2.1 向量的点积：投影的度量

点积，也叫内积。公式很简单：a · b = |a| |b| cosθ。

但别被公式吓到。我换个说法：点积就是向量 a 在向量 b 方向上的投影长度，再乘以 b 的长度。

在机器人里，点积最常见的用处是判断两个方向是否「对齐」。

如果点积 > 0，夹角小于 90°，方向大致相同。
如果点积 = 0，垂直，正交。
如果点积 < 0，夹角大于 90°，方向相反。

实际案例：我在做移动机器人导航时，经常用点积判断机器人当前朝向和目标方向是否一致。如果点积接近 1，说明方向对了，可以直走；如果接近 -1，说明方向反了，得掉头。

代码实现也很简单：

// 二维向量点积
float dotProduct(float ax, float ay, float bx, float by) {
    return ax * bx + ay * by;
}

// 三维向量点积
float dotProduct3D(float a[3], float b[3]) {
    return a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + a[2]*b[2];
}

小技巧：点积的结果是一个标量，不是向量。很多新手会搞混，记住：点积「点」出一个数。

2.2 向量的叉积：法向量的生成器

叉积就更有意思了。它只存在于三维空间（严格来说二维也有，但结果是个标量）。

公式：a × b = |a| |b| sinθ · n，其中 n 是垂直于 a 和 b 的单位向量。

说白了，叉积生成一个垂直于两个输入向量的新向量。方向由右手定则决定。

我在项目中遇到过什么场景呢？机械臂的逆运动学求解。你要计算关节轴的旋转方向，就得用叉积。比如已知两个不共线的向量，想找到垂直于它们的方向，叉积就是最直接的工具。

// 三维向量叉积
void crossProduct(float a[3], float b[3], float result[3]) {
    result[0] = a[1]*b[2] - a[2]*b[1];
    result[1] = a[2]*b[0] - a[0]*b[2];
    result[2] = a[0]*b[1] - a[1]*b[0];
}

注意：叉积不满足交换律！a × b = - (b × a)。方向搞反了，机械臂可能就往反方向转了。我曾经因为这个 bug 调试了一整天……

2.3 矩阵乘法：变换的串联

矩阵乘法，是坐标变换的核心操作。为什么？因为一个旋转矩阵乘以一个向量，就等于把这个向量旋转了。

多个变换叠加呢？比如先旋转再平移，那就是多个矩阵相乘。

矩阵乘法的规则：C = A × B，其中 C 的第 i 行第 j 列等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的点积。

嗯，这里要注意：矩阵乘法不满足交换律。A × B 一般不等于 B × A。这在实际中意味着什么？先旋转再平移，和先平移再旋转，结果完全不同。

操作顺序	矩阵表达式	结果
先旋转后平移	T × R × v	物体绕原点旋转后再移动
先平移后旋转	R × T × v	物体移动后再绕原点旋转

代码示例：

// 3x3 矩阵乘法
void matrixMultiply(float A[3][3], float B[3][3], float C[3][3]) {
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            C[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < 3; k++) {
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
            }
        }
    }
}

2.4 逆矩阵：回到原点

逆矩阵，说白了就是「撤销」操作。你做了一个变换，想回到原来的状态，就用逆矩阵。

定义：如果 A × A⁻¹ = I（单位矩阵），那么 A⁻¹ 就是 A 的逆矩阵。

在机器人控制里，逆矩阵太常用了。比如你知道了末端执行器的位姿，想反推各个关节的角度，这就是逆运动学问题，里面大量用到逆矩阵。

计算逆矩阵的方法有很多：

2x2 矩阵：直接用公式，简单快速。
3x3 矩阵：用伴随矩阵法，或者高斯消元。
更大矩阵：一般用数值方法，比如 LU 分解。

// 2x2 矩阵求逆
void inverse2x2(float A[2][2], float invA[2][2]) {
    float det = A[0][0]*A[1][1] - A[0][1]*A[1][0];
    if (fabs(det) < 1e-6) {
        printf("矩阵不可逆！\n");
        return;
    }
    float invDet = 1.0 / det;
    invA[0][0] = A[1][1] * invDet;
    invA[0][1] = -A[0][1] * invDet;
    invA[1][0] = -A[1][0] * invDet;
    invA[1][1] = A[0][0] * invDet;
}

避坑指南：我曾经在写运动学解算时，忘记检查矩阵的行列式是否为零。结果程序跑着跑着就崩了。后来我养成了习惯：每次求逆之前，先算行列式，如果接近零就做特殊处理。

2.5 知识体系总览

这一章的内容比较多，我画了张图帮你理清关系：

你看，向量和矩阵不是孤立的。点积和叉积是向量的基本操作，矩阵乘法是这些操作的推广和组合，逆矩阵则让我们有了「后悔药」。把这些基础打牢，后面的变换公式就是水到渠成的事。

我的建议：别光看，动手算一算。拿个 2x2 矩阵手动求个逆，或者算两个三维向量的叉积。手算一遍，比看十遍都管用。

好了，这一章就到这里。记住：向量是点，矩阵是变换。点积看方向，叉积找法线，乘法做串联，逆矩阵能还原。这些工具备齐了，下一章我们就可以开始搭建真正的坐标变换体系了。

📚 课程目录

向量与矩阵基础：点积、叉积、矩阵乘法与逆矩阵

2.1 向量的点积：投影的度量

2.2 向量的叉积：法向量的生成器

2.3 矩阵乘法：变换的串联

2.4 逆矩阵：回到原点

2.5 知识体系总览