2. 功率变换器基础与建模

数字电源控制器的设计，最终要落到“被控对象”上。这个被控对象就是功率变换器。若不清楚它的稳态电压比、电感电流纹波、输出电容电压纹波，以及从占空比到输出电压的动态传递关系，后面的数字补偿器设计、环路带宽分配、采样与PWM时序安排都无从谈起。本节从三种基本非隔离拓扑出发，建立从电路到传递函数的完整建模链条。

一、三种基本拓扑的稳态关系

先约定参考方向：电感电流以流入电感端为参考，输出电压以输出电容上端对地为正，占空比 D 定义为开关管导通时间与开关周期之比。三种拓扑在连续导通模式（CCM）下的稳态电压比分别为：

• Buck（降压）：V_o = D·V_in，电感电流连续，输入电流断续。
• Boost（升压）：V_o = V_in / (1-D)，输出电流连续，输入电流连续。
• Buck-Boost（升降压）：V_o = -D·V_in / (1-D)，输出极性与输入相反，输入输出电流均断续。

以 Buck 为例，取 V_in = 12 V、V_o = 5 V、f_sw = 200 kHz、L = 10 μH、C = 220 μF、负载 R = 2.5 Ω。则 D = 5/12 ≈ 0.417，开关周期 T_s = 5 μs。电感电流纹波 Δi_L = (V_in - V_o)·D·T_s / L ≈ (7 V × 0.417 × 5 μs)/10 μH ≈ 1.46 A，平均电流 I_L = I_o = 2 A，因此峰值电流约 2.73 A，谷值约 1.27 A，CCM 成立。输出电容纹波 Δv_o ≈ Δi_L/(8·f_sw·C) ≈ 1.46/(8×200k×220μ) ≈ 4.1 mV。这些数值是后续小信号模型和补偿器设计的输入条件。

二、状态空间平均法

开关变换器本质是分段线性系统：开关管导通与关断时，电路拓扑不同，状态方程也不同。状态空间平均法的核心思想是：在一个开关周期内，以占空比 d 为权重，对两个子区间的状态方程做加权平均，得到一组连续时间的平均方程。

设状态变量为 x = [i_L, v_o]^T，输入为 u = [V_in]。以 Buck 为例，导通区间（dT_s）有：

di_L/dt = (V_in - v_o)/L
dv_o/dt = (i_L - v_o/R)/C

关断区间（(1-d)T_s）有：

di_L/dt = -v_o/L
dv_o/dt = (i_L - v_o/R)/C

按占空比加权平均后得到平均状态方程：

di_L/dt = (d·V_in - v_o)/L
dv_o/dt = (i_L - v_o/R)/C

这就是 Buck 变换器的平均模型。它把开关行为“抹平”为占空比的连续函数，为后续线性化提供了基础。Boost 与 Buck-Boost 的平均方程形式不同，但方法完全一致：分别写出导通、关断两个子区间的状态方程，再按 d 与 1-d 加权。

三、小信号模型与传递函数推导

平均方程是非线性的，因为 d·V_in 是乘积项。在稳态工作点附近引入小信号扰动：d = D + d̂，v_o = V_o + v̂_o，i_L = I_L + î_L，V_in = V_in + v̂_in。代入平均方程并消去稳态项、忽略二阶小量，得到线性化小信号方程。

对 Buck，令输入扰动为零，只保留占空比到输出电压的通道，可得控制到输出的传递函数：

G_vd(s) = V_in / (1 + s/(Q·ω_0) + (s/ω_0)^2)

其中 ω_0 = 1/√(LC)，Q = R·√(C/L)

代入示例参数：ω_0 = 1/√(10μ × 220μ) ≈ 21.3 krad/s，即 f_0 ≈ 3.39 kHz；Q = 2.5 × √(220μ/10μ) ≈ 11.7。这是一个欠阻尼二阶系统，在 f_0 处有约 21 dB 的谐振峰。若不加补偿，闭环在谐振频率附近容易产生振荡。

Boost 和 Buck-Boost 的小信号模型会出现右半平面零点（RHPZ），其频率约为 ω_RHPZ = R·(1-D)^2 / L（Boost）。RHPZ 会带来相位滞后，限制环路带宽。以 Boost 为例，若 V_in = 5 V、V_o = 12 V、L = 22 μH、R = 12 Ω，则 D ≈ 0.583，ω_RHPZ ≈ 12 × (0.417)^2 / 22μ ≈ 94.8 krad/s，即约 15.1 kHz。工程上通常把穿越频率限制在 RHPZ 频率的 1/5 以下，即约 3 kHz 以内。

四、从传递函数到数字控制

得到 G_vd(s) 后，下一步是设计补偿器 G_c(s)，使开环 T(s) = G_c(s)·G_vd(s)·H(s) 满足期望的穿越频率和相位裕度。对 Buck 示例，若目标穿越频率取 f_c = 20 kHz（约 f_0 的 6 倍），需要补偿器在 f_0 处提供足够的相位提升，通常采用 2P2Z 或 3P3Z 补偿器。对 Boost 示例，由于 RHPZ 在 15.1 kHz，穿越频率应限制在 3 kHz 左右，补偿器带宽不能过高。

数字实现时，还需考虑采样频率、计算延迟和 PWM 更新时刻。若采样频率等于开关频率 f_sw，则采样到占空比更新之间存在一拍延迟，会在高频段引入额外相位滞后。工程上常用“采样—计算—更新”对齐到 PWM 周期特定时刻，或采用双采样、过采样等方式减小延迟影响。这些时序细节将在后续数字控制实现章节展开。

总结本节建模链条：从拓扑稳态关系出发，写出导通与关断两个子区间的状态方程，用状态空间平均法得到平均模型，再在工作点附近线性化，得到控制到输出的传递函数。Buck 是二阶欠阻尼系统，Boost 和 Buck-Boost 额外引入 RHPZ。这些结论直接决定后续数字补偿器的结构选择、带宽分配和采样时序设计。