3. 安全约束经济调度的数学建模框架

安全约束经济调度（Security-Constrained Economic Dispatch，SCED）的核心任务，是在满足电力系统安全约束的前提下，确定各发电机组的有功出力，使系统总运行成本最低。要把它交给计算机求解，必须先把工程语言翻译成统一的数学语言。本节围绕目标函数、决策变量、等式约束、不等式约束四个基本要素，给出 SCED 的统一描述，并说明模型分类的依据。

一、决策变量：模型要求解的未知量

SCED 最核心的决策变量是各常规机组的有功出力 P_i（i = 1, 2, …, N_G，N_G 为机组数）。若考虑机组启停状态，还需引入 0-1 变量 u_i；若考虑无功与电压，则增加 Q_i、V_i；若考虑联络线交易，则增加联络线功率 P_tie,k。工程上最常见的直流潮流型 SCED，决策变量就是各机组有功出力向量 P = [P₁, P₂, …, P_NG]^T。

二、目标函数：运行成本最小化

目标函数通常取系统总发电成本最小。机组成本一般用二次函数表示：

min  F = Σ [ a_i · P_i² + b_i · P_i + c_i ]   (i = 1…N_G)

其中 a_i、b_i、c_i 为机组 i 的成本系数，由机组耗量特性拟合得到。若考虑风电、光伏等低边际成本电源，可将其视为负成本或零成本项；若考虑碳排放，则在目标中加入碳成本项 Σ e_i·P_i，其中 e_i 为单位电量碳排放强度。目标函数决定了“往哪个方向优化”，是模型的经济性导向。

三、等式约束：功率平衡与网络方程

等式约束描述系统必须严格满足的物理关系，主要包括两类。

第一类是系统有功功率平衡约束，即发电与负荷、网损之间的平衡：

Σ P_i = P_D + P_loss

在直流潮流近似下，网损常被忽略或作为负荷的一部分处理，此时简化为 Σ P_i = P_D。若采用交流潮流，则需同时满足各节点的有功、无功功率平衡方程。

第二类是网络潮流方程。直流潮流下，支路潮流与节点注入功率呈线性关系：

P_flow,l = Σ S_l,i · P_i - Σ S_l,j · P_D,j

其中 S_l,i 为支路 l 对节点 i 的转移分布因子（PTDF）。该式把机组出力与线路潮流直接联系起来，是安全约束进入模型的关键通道。

四、不等式约束：安全与运行边界

不等式约束刻画“允许运行的范围”，是 SCED 区别于普通经济调度的核心。主要包括：

• 机组出力上下限：P_i,min ≤ P_i ≤ P_i,max；
• 机组爬坡约束：-R_i,down·Δt ≤ P_i(t) - P_i(t-1) ≤ R_i,up·Δt；
• 线路传输容量约束：-P_l,max ≤ P_flow,l ≤ P_l,max；
• 断面/稳定极限约束：Σ P_flow,l ≤ P_section,max；
• 备用约束：Σ (P_i,max - P_i) ≥ R_req；
• 电压与无功约束（交流模型中）：V_i,min ≤ V_i ≤ V_i,max，Q_i,min ≤ Q_i ≤ Q_i,max。

其中线路容量约束和断面约束直接体现“安全”二字：即使某台机组成本最低，若其增发会导致某条线路越限，模型也必须压低其出力、转由其他机组承担。

五、统一描述与模型分类

把上述要素合并，SCED 可写成统一的优化问题：

min  F(P)
s.t. h(P) = 0      （功率平衡、潮流方程）
     g(P) ≤ 0      （机组、线路、备用等边界）
     P ∈ Ω          （变量定义域）

按不同维度可对模型分类。按网络建模精度分为直流潮流 SCED 与交流潮流 SCED；按时间尺度分为静态 SCED 与动态/多时段 SCED；按是否含整数变量分为线性/非线性规划与混合整数规划；按安全约束处理方式分为预防型（N 安全）与校正型（N-1 安全）。不同分类对应不同的求解算法与工程适用场景。

六、建模示例：三机组系统

为便于理解，给出一个简化示例。设系统有 3 台机组，负荷 P_D = 500 MW，忽略网损。机组参数如下（示例数据，仅用于说明建模过程）：

目标函数为 F = 0.004P₁² + 180P₁ + 1200 + 0.0055P₂² + 160P₂ + 900 + 0.003P₃² + 200P₃ + 1500。等式约束为 P₁ + P₂ + P₃ = 500。不等式约束为各机组上下限。若忽略网络约束，用等微增率法可求得各机组出力；若加入线路约束，例如线路 L1 的转移分布因子为 S_L1,1 = 0.6、S_L1,2 = 0.3、S_L1,3 = 0.1，容量为 200 MW，则需增加约束 0.6P₁ + 0.3P₂ + 0.1P₃ ≤ 200。此时最优解可能从“低成本机组多出力”转向“为缓解线路阻塞而调整出力分配”，这正是安全约束经济调度的工程价值所在。

七、模型分类的工程意义

不同分类并非学术标签，而是直接决定求解工具与工程精度。直流潮流 SCED 可转化为线性或二次规划，求解快，适合日前市场出清；交流潮流 SCED 精度高但计算量大，适合校验与阻塞管理；多时段 SCED 需处理机组爬坡与储能时序耦合，适合日内滚动调度；含 N-1 安全约束的 SCED 需枚举或筛选故障场景，适合预防控制决策。工程中常采用“直流建模、交流校验”的两阶段策略，兼顾速度与安全。