📚 课程目录第2章配电网拓扑建模基础

2. 配电网拓扑建模基础

配电网拓扑分析的第一步，是把一条条真实的线路、一台台开关、一段段馈线，抽象成计算机能够存储和计算的“图”。如果抽象得不准确，后续的潮流计算、故障隔离、供电恢复都会建立在错误的结构之上。本节从基本元件建模讲起，逐步过渡到图论表示，并给出邻接矩阵与关联矩阵的具体构建方法。

一、基本元件的建模约定

配电网拓扑建模的核心对象有四类：节点、支路、开关、馈线，此外还有连接两条馈线的联络线。建模时首先要明确每个对象的物理含义和电气属性。

节点（Node / Bus）是网络中的连接点，通常对应母线、杆塔接点、开关两端、变压器高低压侧端子等。节点本身不消耗功率，但承载电压变量。工程上常把节点分为：电源节点（变电站10 kV母线出口）、负荷节点（配电变压器接入点）、联络节点（仅起连接作用）和开关节点（开关两侧的端点）。节点编号应全局唯一，建议按馈线分组编号，例如馈线F1的节点编号为1001、1002……，便于后续分区计算。

支路（Branch / Edge）表示两个节点之间的电气连接，通常对应一段架空线或电缆。支路的核心参数包括：首末节点编号、电阻R、电抗X、额定载流量、长度。在拓扑层面，支路只关心“连接了哪两个节点”；在电气层面，才需要R、X等参数。因此拓扑模型与电气模型应分开存储，用支路ID关联。

开关（Switch）是配电网拓扑中最特殊的元件，因为它具有两种状态：合闸（闭合）和分闸（断开）。开关建模的关键在于：开关本身占据一个支路位置，但其通断状态会改变网络的连通性。常见的开关类型包括断路器、负荷开关、隔离开关、熔断器。在拓扑模型中，开关通常建模为一条“可开断支路”，其状态用布尔量表示：1表示合闸，0表示分闸。当开关分闸时，该支路从拓扑图中移除（或标记为不可达）。

馈线（Feeder）是从变电站母线引出、向一片区域供电的辐射状线路集合。一条馈线通常包含一条主干线和若干分支线。馈线的建模要点是：馈线有明确的电源起点（根节点），正常运行时呈辐射状（树形），且同一馈线内不存在环网。

联络线（Tie Line）是连接两条不同馈线的支路，正常运行时通常处于分闸状态（常开联络开关），只有在故障或检修时才合闸转供。联络线的存在使配电网不再是纯粹的辐射状，而是“闭环设计、开环运行”。建模时必须把联络线和联络开关单独标识，因为它们是网络重构的关键手段。

建模约定建议：节点编号全局唯一；支路编号全局唯一；开关作为特殊支路单独建表；联络线用标志位区分于普通支路。这样在后续矩阵构建和重构计算中可以直接按标志筛选。

二、图论表示方法

配电网在数学上可以表示为一个图 G = (V, E)，其中 V 是节点集合，E 是支路集合。对于配电网，通常使用无向图描述拓扑连接关系，因为线路的电气连接是对称的；但在潮流计算中，需要根据功率方向确定“首端—末端”，此时会引入有向图或有向树的概念。

配电网图论表示中有几个重要概念：

度（Degree）：与某节点相连的支路数。辐射状配电网中，末端负荷节点的度为1，分支节点的度≥3，电源根节点的度等于出线数。
路径（Path）：从一个节点到另一个节点经过的支路序列。配电网中任意两节点之间正常只有一条路径（辐射状），若存在多条路径则说明存在环网或联络线被合上。
连通分量（Connected Component）：图中相互连通的节点集合。开关分闸会把一个连通分量拆成两个，这是故障隔离的拓扑本质。
树（Tree）：不含回路的连通图。一条正常运行的馈线就是一个树，根节点是电源点。

实际建模时，常用“节点—支路表”来存储图：一张节点表记录节点ID和属性，一张支路表记录支路ID、首节点、末节点、支路类型（普通线路/开关/联络线）、开关状态。这种存储方式比直接存矩阵更节省空间，也便于增删改。

三、邻接矩阵与关联矩阵的构建

图论表示最终要落到矩阵上，才能参与数值计算。配电网中最常用的两种矩阵是邻接矩阵和关联矩阵。

邻接矩阵 A是一个 n×n 的方阵（n为节点数）。若节点 i 与节点 j 之间有支路直接相连，则 A[i][j] = 1，否则为 0。对于无向图，邻接矩阵是对称矩阵。若支路带权（如阻抗），则 A[i][j] 可填权值，称为带权邻接矩阵。邻接矩阵的物理意义是“一步可达性”：A 的 k 次幂中非零元素表示经过 k 步可达。在配电网中，邻接矩阵常用于判断节点连通性和搜索供电路径。

关联矩阵 B是一个 n×m 的矩阵（n为节点数，m为支路数）。对于无向图，若支路 e 连接节点 i 和 j，则 B[i][e] = 1，B[j][e] = 1，其余为 0。对于有向图，通常规定支路方向从首节点指向末节点，则首节点处为 +1，末节点处为 -1。关联矩阵的物理意义是“节点与支路的关联关系”，它是建立节点电压方程和支路电流方程的基础，也是配电网潮流计算中节点—支路关联矩阵的原型。

下面给出一个简单配电网示例，用于说明两种矩阵的构建。设某馈线有4个节点：节点1为电源点，节点2、3、4为负荷节点；支路e1连接1-2，e2连接2-3，e3连接2-4。节点编号为1、2、3、4，支路编号为e1、e2、e3。

节点表：
节点ID  类型
1       电源节点
2       分支节点
3       负荷节点
4       负荷节点

支路表：
支路ID  首节点  末节点  类型    开关状态
e1      1       2       线路    合闸
e2      2       3       线路    合闸
e3      2       4       线路    合闸

根据上述数据，邻接矩阵 A（4×4）为：

A = [ 0  1  0  0
      1  0  1  1
      0  1  0  0
      0  1  0  0 ]

关联矩阵 B（4×3，无向图，两端均填1）为：

B = [ 1  0  0
      1  1  1
      0  1  0
      0  0  1 ]

若采用有向图约定，规定每条支路从首节点指向末节点，则关联矩阵变为：

B_dir = [ +1   0   0
          -1  +1  +1
           0  -1   0
           0   0  -1 ]

可以看到，有向关联矩阵每一列只有一个 +1 和一个 -1，其余为 0，这正好对应基尔霍夫电流定律中“流入等于流出”的约束。在配电网潮流计算中，通常采用有向关联矩阵来建立节点注入电流与支路电流的关系。

当开关分闸时，对应支路从图中移除，邻接矩阵和关联矩阵中该支路对应的列应删除或置零。例如，若e2分闸，则节点3与节点2断开，节点3成为孤岛。此时邻接矩阵中 A[2][3] 和 A[3][2] 变为0，关联矩阵中e2列删除。这一操作在程序实现中通常通过“支路状态过滤”完成，而不是真正删除矩阵行列，以便开关重新合闸时快速恢复。

注意：邻接矩阵和关联矩阵的维度会随节点数和支路数增长而快速增长。对于上千节点的实际配电网，直接存储稠密矩阵会浪费大量内存。工程实现中通常采用稀疏矩阵存储（如CSR格式），或直接用邻接表、支路表进行图搜索，只在需要数值计算时才生成局部矩阵。

四、从建模到矩阵的完整流程

综合以上内容，配电网拓扑建模的完整流程可以概括为：

确定建模范围，划分馈线，分配全局唯一的节点编号和支路编号。
建立节点表，标注节点类型（电源、负荷、联络、开关节点）。
建立支路表，记录首末节点、支路类型（线路/开关/联络线）、电气参数和开关状态。
根据支路表生成邻接矩阵或邻接表，用于连通性搜索和路径查询。
根据支路表生成关联矩阵，用于潮流计算和网络方程建立。
当开关状态变化时，更新支路状态，并同步更新矩阵或图结构。

下面用一张SVG图展示本节的核心建模关系：从物理元件到图论对象，再到矩阵表示的映射过程。

上图展示了从物理元件到图论对象、再到矩阵表示的映射关系。需要强调的是，开关状态是动态变化的，因此矩阵不是一成不变的。在实际程序中，通常维护一份“基础拓扑矩阵”，再根据开关状态生成“当前运行矩阵”。这样既保留了完整网络信息，又能快速响应开关操作。

掌握节点、支路、开关、馈线、联络线的建模方法，理解邻接矩阵和关联矩阵的构建过程，是后续配电网潮流计算、故障定位和网络重构的基础。建议读者在理解本节内容后，用一个小型配电网算例手动写出节点表、支路表、邻接矩阵和关联矩阵，以加深对拓扑建模的直观认识。