2. 采空区TEM视电阻率计算与断面成像

从衰减曲线到视电阻率断面：本节要完成的两件事

本节任务是把一组 TEM 衰减数据（感应电动势 ε(t) 或 dB/dt）换算成视电阻率 ρ_s(t)，再把多测点的 ρ_s(t) 按“时间道—测点”排布成拟断面图，最后在断面上判读采空区的低阻或高阻异常形态。核心逻辑是：晚期视电阻率公式把每个时间道的衰减幅值映射为一个等效电阻率，而时间道近似对应深度，于是“测点 × 时间道”的二维矩阵就构成了一张伪深度断面。

视电阻率换算：晚期公式与适用条件

中心回线（或重叠回线）装置下，晚期视电阻率常用下式（SI 单位）：

ρs(t) = ( μ0 / (4π t) ) · ( μ0 · M · A_r / (5 t · ε(t)) )^(2/3)

其中：
  μ0 = 4π×10^-7 H/m
  M  = 发射磁矩 = N·I·A_t （匝数×电流×发射回线面积，A·m²）
  A_r= 接收线圈等效面积（m²），中心回线时 A_r = A_t
  ε(t) = t 时刻感应电动势（V），取绝对值
  t  = 该时间道对应的采样时刻（s）

该公式成立的前提是晚期条件：响应已进入幂律衰减段，且满足“感应数”足够小。工程上常用判据是响应幅值已明显低于早期、衰减曲线在双对数坐标上呈近似直线。若早期道直接套用晚期公式，会得到严重偏大的假高阻，因此前几个时间道通常标记为“早期不可用”，不参与异常判读。

换算实现（Python，可直接运行）

下面给出一个自洽的最小实现：构造一组教学用的合成衰减数据（含一个低阻采空区测点与一个背景测点），完成视电阻率换算，并输出拟断面矩阵。数据为教学示例，用于演示流程与判读，不代表实测结果。

import numpy as np

MU0 = 4 * np.pi * 1e-7

def late_time_rho(eps, t, M, Ar):
    """晚期视电阻率（中心/重叠回线），eps 取绝对值，单位 SI"""
    eps = np.abs(np.asarray(eps, dtype=float))
    t = np.asarray(t, dtype=float)
    rho = (MU0 / (4 * np.pi * t)) * (MU0 * M * Ar / (5 * t * eps)) ** (2.0 / 3.0)
    return rho

# ---- 教学示例参数 ----
N_turn, I, side = 10, 5.0, 100.0          # 10匝, 5A, 100m×100m 回线
A_t = side * side                          # 发射回线面积 m^2
M = N_turn * I * A_t                       # 发射磁矩 A·m^2
Ar = A_t                                   # 中心回线，接收等效面积

t = np.logspace(-4, -2, 20)                # 20 个时间道, 0.1ms ~ 10ms

# 合成衰减：背景幂律 + 低阻体带来的额外衰减（示例，非实测）
def synth(t, rho_eq, extra=0.0):
    base = 1e-3 * (t / 1e-3) ** (-1.5) * (100.0 / rho_eq) ** 1.5
    return base * (1 + extra)

eps_bg = synth(t, 100.0)                   # 背景测点
eps_lo = synth(t, 100.0, extra=0.8)        # 低阻采空区测点（衰减更快更强）

rho_bg = late_time_rho(eps_bg, t, M, Ar)
rho_lo = late_time_rho(eps_lo, t, M, Ar)

print("t(ms)   rho_bg   rho_lo")
for ti, rb, rl in zip(t*1e3, rho_bg, rho_lo):
    print(f"{ti:6.2f}  {rb:7.1f}  {rl:7.1f}")

运行后可观察到：低阻测点的视电阻率在中晚期道明显低于背景，且随延迟时间增大差异趋于稳定——这正是采空区（若充水或含水）在拟断面上的典型低阻响应。若采空区为干燥空洞（高阻），则表现为视电阻率抬升，形态相反。

拟断面成像：时间道—测点矩阵的排布与判读

把每个测点的 ρ_s(t) 按列排入矩阵，行是时间道（向下增大，近似深度增大），列是测点位置，即得到拟断面。判读要点：

• 横向连续性：背景层位在断面上应横向连续；异常表现为局部“凹陷”（低阻）或“隆起”（高阻）。
• 纵向位置：异常出现的时间道范围对应采空区的大致埋深区间，越晚的道反映越深。
• 形态闭合：真实采空区异常通常在多个相邻测点、多个时间道上形成闭合或半闭合的异常块，单点单道的跳变更可能是噪声。
• 早期道屏蔽：前 2~3 个时间道受晚期公式适用性限制，判读时应淡化或剔除。

结果判读与验证

完成换算与成像后，用以下方式验证结果是否可信：

1. 公式自检：用均匀半空间理论响应反算，视电阻率应回到设定值附近（误差在数值离散范围内）。
2. 背景一致性：远离采空区的测点，其 ρ_s(t) 曲线应彼此接近，断面背景层位横向平缓。
3. 异常可重复：低阻/高阻异常在相邻测点、相邻时间道上连续出现，而非孤立单点。
4. 与已知资料对照：若有过钻孔或巷道资料，核对异常时间道范围与推断埋深是否吻合。