2. 贝叶斯优化核心要素

贝叶斯优化在论文里通常被写成五元组：目标函数 f、决策变量 x、约束 c、观测噪声 ε、实验预算 N。但在工程现场，这五个符号必须落到具体的仪器、配方、工艺窗口和成本账上，否则算法跑出来的"最优点"可能根本无法执行。本节的任务就是把每个要素从数学符号翻译成可操作、可记录、可复现的工程定义。

目标函数：把"好"变成可测量的标量

目标函数是贝叶斯优化唯一告诉算法"什么算好"的通道。工程化定义它需要回答三件事：测什么、怎么合成、朝哪个方向优化。

以化学气相沉积（CVD）生长薄膜为例，工程师真正关心的是"薄膜质量"，但质量本身不可直接测量。可行的做法是构造一个标量响应：

y = w1 * (R_target / R_meas)          # 方阻接近目标值
  + w2 * (1 - RMS_rough / RMS_max)    # 表面粗糙度越低越好
  - w3 * max(0, T_sub - T_limit)      # 超过基片耐温上限则惩罚

这里 R_meas 是四探针测得的方阻，RMS_rough 是原子力显微镜测得的均方根粗糙度，T_sub 是基片温度。三个权重 w1、w2、w3 由工艺工程师根据产品规格确定，例如取 0.5、0.3、0.2。需要强调的是：目标函数一旦定义，在整个优化过程中不应随意更改，否则高斯过程学到的历史数据将失去可比性。若确实需要调整权重，应作为一次"重新开始"处理，并清空或降权旧观测。

另一个常见工程决策是最大化还是最小化。贝叶斯优化库（如 BoTorch、Ax、scikit-optimize）通常默认最大化，因此若目标是"缺陷密度越低越好"，应在传入前取负号，或在配置中显式声明 minimize=True。方向约定必须在项目文档中写清楚，避免后续采集函数方向搞反。

决策变量：连续、离散与类别变量的混合空间

决策变量是算法可以"拧动"的旋钮。工程上它们很少是清一色的连续量，更常见的是混合类型：

• 连续变量：沉积温度 550–750 °C、腔体压力 0.5–5 Torr、气体流量 20–200 sccm。
• 离散有序变量：射频功率档位 100/200/300 W，或退火时间 30/60/90 min。
• 类别变量：前驱体种类 A/B/C，或衬底类型 Si/SiC/蓝宝石。

工程化定义要求为每个变量给出：名称、类型、单位、下界、上界（或候选集合）、以及是否允许在实验中微调。例如温度实际控制精度为 ±5 °C，那么搜索空间可以按 5 °C 步长离散化，避免算法推荐 623.7 °C 这种设备无法稳定实现的点。变量维度也不宜盲目扩大：在预算只有 40 次实验时，超过 8 个有效变量通常会导致高斯过程难以收敛，此时应先做因子筛选或凭经验固定次要变量。

约束：把"不可行"从搜索空间中剔除

约束分两类。第一类是硬约束，即物理或安全上绝对不允许的区域，例如基片温度不得超过 800 °C、压力不得超过腔体额定值。这类约束应在采样阶段直接过滤，或通过变量边界实现，算法永远不会推荐越界点。

第二类是软约束，即"可以试但代价高"或"结果不可接受"的区域，例如薄膜出现开裂、附着力不达标。软约束通常作为额外的观测输出，用独立的代理模型建模，并在采集函数中施加可行性概率惩罚。工程上常用的做法是：每次实验同时记录目标值 y 和约束指标 c（如附着力等级 0–5），当 c 低于阈值时，即使 y 看起来很好，该点也不应被推荐为最终工艺。

观测噪声：区分"真差异"与"测量波动"

实验测量永远带有噪声。同一配方重复三次，方阻可能是 12.1、11.8、12.4 Ω/sq，这种波动来自仪器精度、环境漂移和样品差异。贝叶斯优化通过高斯过程的噪声项 σ² 来吸收它。

工程化定义噪声有两种途径。其一是先验估计：根据历史重复实验的标准差设定，例如方阻重复性 σ ≈ 0.2 Ω/sq，则噪声方差取 0.04。其二是从数据中学习：在 GP 拟合时把噪声作为超参数优化，适用于噪声水平未知的情况。若噪声被严重低估，模型会把波动当成真实信号，导致采集函数在噪声点附近反复采样；若噪声被高估，模型会过度平滑，错过真实的最优区域。

一个实用的判断方法是：当两次相邻实验的响应差异小于 2σ 时，不应认为工艺真的发生了变化。这条规则也应写进实验记录表，作为"是否需要复测"的依据。

实验预算：时间、成本与迭代次数的统一

实验预算是贝叶斯优化区别于纯仿真优化的核心约束。它通常由三个维度共同决定：

• 次数预算：最多允许做多少次实验，例如 40 次。
• 时间预算：每轮实验含制备、测量、冷却共约 6 小时，总周期不超过 2 周。
• 成本预算：单次实验的耗材与机时成本，例如 800 元/次，总预算 3 万元。

三者取最紧的那个作为有效预算。工程上还应预留 10%–20% 的余量用于复测和验证，因此若总次数为 40，实际用于优化的建议不超过 32–36 次。初始设计点（如拉丁超立方或 Sobol 序列）通常占预算的 20%–30%，剩余预算交给采集函数迭代。

把五要素写成一份可执行的实验配置

下面给出一份可直接填写和传递的配置示例，字段均来自本节定义，参数为教学假设值，实际项目应按设备与产品规格替换。

五要素定义清楚后，贝叶斯优化的每一次迭代才有明确的输入和输出：算法在决策变量空间内推荐一个候选点，实验人员按配置执行并记录目标值与约束指标，噪声模型决定该观测以多大权重进入高斯过程，预算计数器决定何时停止。任何一环定义模糊，都会让"最优工艺"停留在纸面上。