📚 课程目录第2章生物过程动态建模基础

2. 生物过程动态建模基础

生物过程的模型预测控制（MPC）之所以比常规 PID 更有优势，根本原因在于它依赖一个能描述“状态如何随时间演化”的动态模型。这个模型不是凭空拟合出来的曲线，而是由三块相互咬合的结构拼装而成：质量平衡决定“有多少物质、在哪里、以多快速度变化”；反应动力学决定“这些物质以多快速度被消耗或生成”；细胞生长与产物形成模型则把动力学参数与细胞自身的生理状态（生长、维持、产物合成）联系起来。本节围绕这三块结构展开，并给出可落地的建模写法。

一、质量平衡：动态模型的骨架

质量平衡的本质是守恒：某一组分在反应器内的累积速率 = 流入速率 − 流出速率 + 生成速率 − 消耗速率。对补料分批（fed-batch）反应器，若以体积 V、组分浓度 C 为状态，则通用形式为：

d(V·C)/dt = F_in·C_in − F_out·C + V·r_net
其中 r_net = r_生成 − r_消耗（单位：g/(L·h) 或 mol/(L·h)）

展开后得到浓度形式，这是实际建模最常用的写法：

dC/dt = (F_in/V)·(C_in − C) + r_net        （当 F_out = F_in，即恒体积假设）
dC/dt = (F_in/V)·C_in − (F_out/V)·C + r_net （一般情况）

这里必须明确参照约定：生成速率 r 取正、消耗速率取负，全文与图示保持一致。以葡萄糖为例，它是底物，被细胞消耗，故 r_net 为负；以产物（如青霉素）为例，它被合成，r_net 为正。对溶解氧这类同时存在传递与消耗的组分，还需加入传质项 k_La·(C* − C_L)，其中 C* 是与气相平衡的饱和浓度，C_L 是液相实际浓度。

建模时先列出“哪些组分需要作为状态变量”。通常至少包括：生物量 X、限制性底物 S、目标产物 P、溶解氧 C_L，必要时加入副产物与前体。每个状态变量对应一个质量平衡方程，方程数量即模型阶数。

二、反应动力学：把速率写成状态的函数

质量平衡给出骨架，动力学给出 r_net 的具体表达式。生物过程最常用的三类动力学结构如下。

1. 底物消耗动力学（Monod 型）：比消耗速率 q_S 随底物浓度升高而饱和，同时受产物或抑制物影响：

q_S = q_S,max · S/(K_S + S) · I(P)
I(P) = 1/(1 + P/K_i)  或  I(P) = exp(−P/K_i)

其中 K_S 是半饱和常数（g/L），K_i 是抑制常数。K_S 越小，细胞对底物的亲和力越强。

2. 生长动力学：比生长速率 μ 通常与 q_S 通过得率系数 Y_{X/S} 关联：

μ = Y_{X/S} · q_S − m
其中 m 为维持系数（1/h），表示用于维持细胞活性而非生长的底物消耗

当底物充足时 μ 接近 μ_max；当底物耗尽时 μ 迅速下降。这一非线性是 MPC 需要在线估计 μ 的直接原因。

3. 产物形成动力学：产物合成与生长的耦合关系决定了模型结构。常见三类：

生长偶联型：q_P = α·μ + β，产物随生长同步生成，如乙醇。
非生长偶联型：q_P 与 μ 无关，主要由维持代谢驱动，如某些次级代谢产物。
混合型：q_P = α·μ + β，α 与 β 均非零，如青霉素发酵。

这三类结构直接决定 MPC 的操纵变量选择：生长偶联型可通过控制补料速率间接控制产物；非生长偶联型则需在生长受限阶段维持合适的底物浓度。

三、细胞生长与产物形成模型结构

把上述动力学与质量平衡组合，得到结构化的动态模型。以青霉素补料分批发酵为例，状态变量取 X、S、P、V，模型结构为：

dX/dt = μ·X − (F/V)·X
dS/dt = −q_S·X + (F/V)·(S_f − S)
dP/dt = q_P·X − (F/V)·P
dV/dt = F
μ = μ_max·S/(K_S + S)·(1 − P/K_iP)
q_S = μ/Y_{X/S} + m
q_P = α·μ + β

该结构的关键特征是：状态之间通过动力学参数耦合，而非简单线性叠加。μ 同时出现在 X 和 q_S 中，P 又通过抑制项反馈到 μ，形成闭环非线性。这正是 MPC 能在约束下优化补料轨迹的基础。

四、建模实操：从结构到可计算模型

把上述结构落地为可计算模型，需要完成四步。第一步，确定状态变量与单位，统一为 g/L、h、L。第二步，写出每个状态的质量平衡方程，明确 F、S_f、V 的时变关系。第三步，选择动力学表达式并给出参数初值。第四步，用实验数据（如离线采样 X、S、P）进行参数辨识，常用最小二乘或极大似然估计。

以一组教学示例参数为例（以下为合理假设的示例值，非实测结果）：μ_max = 0.45 1/h，K_S = 0.8 g/L，Y_{X/S} = 0.5 g/g，m = 0.02 1/h，α = 0.6，β = 0.01 1/h，K_iP = 5 g/L。初始条件 X0 = 2 g/L，S0 = 20 g/L，P0 = 0，V0 = 5 L。补料策略设为 F = 0.05 L/h，S_f = 300 g/L。用欧拉法以 Δt = 0.1 h 积分，可观察到：前 10 h 底物快速消耗、X 指数上升；约 15 h 后 S 降至 1 g/L 以下，μ 受 Monod 项限制而下降，P 开始以非生长偶联为主持续积累；若 P 超过 5 g/L，抑制项使 μ 进一步下降，形成典型的“生长—产物”两阶段特征。

建模常见错误：把得率系数 Y_{X/S} 当作常数。实际上在底物充足与受限阶段，Y_{X/S} 会因维持代谢占比变化而漂移。MPC 中若使用固定 Y，需在状态估计器中加入参数自适应，否则预测轨迹会系统性偏离。

五、模型结构对 MPC 的意义

质量平衡、动力学与细胞模型三者组合后，模型呈现为非线性状态空间形式：ẋ = f(x, u)，y = h(x)。MPC 在每个采样时刻以当前估计状态为初值，对未来 N 步预测并求解带约束的优化问题。模型结构决定了预测的物理合理性：若缺少产物抑制项，MPC 会误判高产物浓度下仍可高速生长，从而给出过激的补料策略；若缺少维持项，低底物阶段会低估底物消耗，导致补料不足。因此，建模阶段对动力学结构的取舍，直接决定控制性能的上限。

实际工程中，建议先用结构辨识确定模型骨架（哪些状态、哪些耦合），再用参数辨识确定数值。结构正确比参数精确更重要：结构错了，再精确的参数也无法外推；结构对了，参数可在运行中通过在线估计逐步修正。