4. 迭代重建基础与代数方法

解析重建（FBP）把投影数据视为连续 Radon 变换的采样，通过滤波反投影一次性求出图像。迭代重建则把成像问题写成线性方程组 Ax = b：x 是待求的 N 维像素向量，b 是 M 维投影测量向量，A 是 M×N 的系统矩阵，元素 a_ij 表示第 j 个像素对第 i 条射线的贡献（即射线穿过该像素的路径长度）。迭代法从一个初始图像出发，反复用当前估计做前投影、与实测投影比较、再把误差反投影回去修正图像，直到满足收敛条件。它的优势在于：可以在迭代中引入噪声统计模型、非负约束、先验正则，因而在低剂量、稀疏视角、金属伪影等病态条件下通常优于 FBP。

Kaczmarz 迭代与 ART

Kaczmarz 方法是最基础的代数迭代格式。它每次只取一个方程（一条射线），把当前解投影到该方程对应的超平面上：

x^(k+1) = x^(k) + λ · (b_i − a_i·x^(k)) / ||a_i||² · a_i^T

其中 a_i 是系统矩阵第 i 行，b_i 是第 i 条射线的测量值，λ 是松弛因子。ART（Algebraic Reconstruction Technique）就是按射线逐条更新的 Kaczmarz 迭代。它的几何含义是：每次修正只让当前图像满足一条射线的投影约束，逐条扫过全部射线称为一轮（one sweep）。ART 收敛快，但结果对射线访问顺序敏感，且噪声下容易震荡。

SIRT 与 SART

SIRT（Simultaneous Iterative Reconstruction Technique）把一轮内所有射线的修正量先累加、再统一更新，等价于对全部方程做一次最小二乘梯度下降：

x^(k+1) = x^(k) + λ · C · A^T · R · (b − A·x^(k))

其中 R 是按射线归一化的对角矩阵（通常取 1/行和），C 是按像素归一化的对角矩阵（通常取 1/列和）。SIRT 每轮只更新一次，稳定性好、噪声抑制强，但收敛慢，且趋于平滑、丢失细节。SART（Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique）是折中方案：把投影按固定角度分块，块内所有射线同时更新（类似 SIRT），块间顺序推进（类似 ART）。它兼顾了 ART 的收敛速度和 SIRT 的抗噪能力，是工程中最常用的代数迭代格式之一。

松弛因子与收敛性

松弛因子 λ 控制每次修正的步长。λ 过大，迭代会在真解附近来回跳甚至发散；λ 过小，收敛极慢。对 Kaczmarz/ART，理论上 0 < λ < 2 可保证收敛（在无噪声、相容方程组下），工程中常取 0.1~1.0；SIRT 的稳定区间更宽，常取 0.5~2.0。收敛判据一般用相邻两轮图像的相对变化或投影残差范数：

||x^(k+1) − x^(k)|| / ||x^(k)|| < ε   或   ||b − A·x^(k)|| / ||b|| < ε

典型 ε 取 1e-3 ~ 1e-4。需要注意：迭代法在噪声数据下并非收敛到真解，而是先逼近真解、随后被噪声主导而恶化，因此实际中常采用“早停”（early stopping）——在残差下降到某个平台前停止，或结合正则化项抑制噪声放大。

投影与反投影算子的实现

迭代重建的性能瓶颈在 A 和 A^T 的反复作用。工程上不显式存储 M×N 的 A，而是用“前投影”和“反投影”两个算子按需计算。常用实现有：

• 像素驱动（ray-driven）：沿每条射线步进，累加所穿像素的贡献，适合前投影。
• 体素驱动（voxel-driven）：对每个像素，找出所有穿过它的射线并累加，适合反投影。
• 距离驱动（distance-driven）：按射线与像素边界的交叠长度加权，精度高、伪影少，是 CT 中较常用的方案。

实现时要注意：前投影与反投影必须使用同一套几何模型（同一 A），否则迭代不收敛或收敛到错误结果。一个简化的距离驱动前投影伪代码如下：

for each ray i:
    for each pixel j crossed by ray i:
        w = overlap_length(i, j)      # 射线与像素交叠长度
        b[i] += w * x[j]              # 前投影
# 反投影（A^T）：
for each ray i:
    r = b_meas[i] - b[i]              # 残差
    for each pixel j crossed by ray i:
        back[j] += w * r / row_sum[i] # 加权反投影

低剂量数据重建对比

低剂量 CT 的投影数据光子数少、噪声重，FBP 会因滤波放大高频噪声而产生明显条纹和斑点。迭代法通过约束和统计模型可显著抑制噪声。以下为教学示例（非实测），在 256×256 图像、180 个视角、加入泊松噪声条件下，各方法的典型表现趋势：

实际调参时，可先固定 λ 跑 20~50 轮，观察残差范数曲线：若曲线持续下降后趋于平台，说明接近收敛；若曲线震荡上升，说明 λ 过大或噪声主导，应减小 λ 或提前停止。对 SART，块大小（每块包含的投影角度数）也影响结果：块越小越接近 ART，块越大越接近 SIRT，通常取每块 10°~30° 作为起点。