1. CT成像物理与重建问题定义
CT重建的一切工程决策，最终都要回到一个物理事实：X射线穿过物体时，光子被吸收和散射，强度按指数规律衰减。设入射强度为 I0，穿出强度为 I，路径上的线性衰减系数为 μ(l)，则沿射线 L 有：
I = I₀ · exp( −∫_L μ(l) dl )
取负对数：
p = −ln(I / I₀) = ∫_L μ(l) dl这里的 p 称为投影值或线积分。它把"测到的强度"变成了"沿某条直线的衰减系数积分"，这是CT能够定量成像的起点。工程上要特别注意两点：一是 I0 必须通过空气扫描或参考通道实时估计，否则管电流漂移会直接变成投影值偏差；二是负对数运算对低剂量噪声极其敏感，当 I 接近0时 p 会剧烈波动，这正是低剂量CT重建困难的物理根源。
投影采集几何与正弦图
实际CT不是沿一条线测，而是围绕物体旋转，在每个角度 θ 下采集一组平行或扇形射线。以平行束为例，射线由角度 θ 和到旋转中心的距离 t 唯一确定，投影值记为 p(θ, t)。把所有角度下的投影按 θ 排列成二维图像，就得到正弦图（sinogram）。正弦图不是装饰，它是重建算法的直接输入，也是判断数据质量的第一现场：
- 物体中一个点，在正弦图上表现为一条正弦曲线，位置对应其空间坐标；
- 金属等高衰减物体在正弦图上形成亮条纹，是金属伪影的源头；
- 截断、坏道、环状伪影在正弦图上都有可识别的固定模式，便于定位问题。
因此，工程排查伪影时，先看正弦图往往比直接看重建图像更快。扇形束和锥形束几何下，射线不再由 (θ, t) 直接描述，需要重排为平行束或使用专门的滤波反投影公式，但"投影是线积分"这一本质不变。
Radon变换与重建的不适定性
把"沿直线积分"这一操作形式化，就是Radon变换：
p(θ, t) = ∬ f(x, y) · δ(x cosθ + y sinθ − t) dx dy其中 f(x,y) 是待求的衰减系数分布。重建就是求Radon逆变换。理论上，若投影覆盖全部角度且无噪声，逆变换有解析解，滤波反投影（FBP）正是其实现。但工程上问题远没有这么理想：
- 角度采样有限：只能采集有限个 θ，逆变换中的连续积分被离散求和替代，高频信息丢失；
- 噪声放大：逆变换含斜坡滤波 |ω|，对高频噪声有放大作用，投影噪声会显著恶化重建结果；
- 病态性：Radon变换的奇异值随频率衰减，其逆问题不满足Hadamard意义下的适定性，微小数据扰动可导致解的较大变化；
- 物理模型偏差：实际X射线是多能的，而线积分模型假设单能，射束硬化会引入杯状伪影和条状伪影。
这些因素共同决定了：CT重建不能只靠解析反投影，必须引入正则化、迭代优化或学习型先验。理解不适定性的来源，才能理解为什么不同算法在不同噪声、不同采样条件下表现差异巨大。
工程评价指标
重建结果好不好，不能只看"像不像"，需要可量化的指标。最常用的三个是：
| 指标 | 定义 | 工程含义 |
|---|---|---|
| RMSE | √( Σ( f̂ − f )² / N ) | 像素级平均误差，对整体偏差敏感，单位与衰减系数一致 |
| PSNR | 10·log₁₀( MAX² / MSE ) | 以dB表示的信噪比，便于横向比较，但对结构失真不敏感 |
| SSIM | 基于亮度、对比度、结构的相似度 | 更贴近人眼对结构完整性的判断，适合评估边缘和纹理保持 |
实际评估时，RMSE和PSNR容易受整体灰度偏移影响，SSIM对结构变化更敏感，三者应结合使用。若做低剂量或稀疏角度实验，还需报告噪声水平、角度数和是否使用正则化，否则指标之间不可比。下面这张图把从物理衰减到投影、正弦图、重建与评价的完整链路串起来，帮助建立全局认识。
从物理到工程的衔接
把上述内容串起来看，CT重建的工程问题可以这样定义：已知有限角度、含噪、可能截断的投影数据 p(θ,t)，在Radon变换模型下估计衰减分布 f(x,y)，并用RMSE、PSNR、SSIM等指标衡量估计质量。这个定义里，物理模型决定"能测什么"，采集几何决定"测多少"，不适定性决定"为什么难"，评价指标决定"怎么算好"。