2. 医学图像配准数学基础
医学图像配准的本质，是寻找一个空间变换，使两幅图像在同一坐标系下达到解剖位置的一致。要把“对齐”这件事变成可计算、可优化、可复现的问题，必须先把坐标系、变换、相似性测度、插值方法和优化框架这五个要素用统一的数学语言描述清楚。本章围绕这条主线展开，并给出配准问题的形式化表达。
一、坐标系与变换表示
配准中至少涉及三类坐标系：图像坐标系（以体素索引 i, j, k 表示）、物理坐标系（以毫米为单位的患者空间，如 DICOM 的 LPS 约定：x 向患者左侧、y 向患者后侧、z 向患者头侧）、以及世界/参考坐标系（配准的目标空间）。图像到物理的映射由方向矩阵、体素间距和原点共同决定，即 p = O + D·S·(i, j, k)ᵀ。术前 CT/MR 与术中超声、CBCT 或光学跟踪数据往往来自不同设备，必须先把各自数据统一到同一物理坐标系，配准才有意义。
变换的表示方式直接影响求解。常用的有：平移向量 t（3 参数）、旋转矩阵 R（3×3 正交矩阵，满足 RᵀR=I 且 det R=1）、欧拉角或四元数（4 参数，无万向锁）、以及齐次变换矩阵 T = [[R, t],[0, 1]]（4×4）。齐次形式便于变换的复合与求逆，是配准实现中最常用的表示。约定：本文所有旋转均指将浮动图像坐标映射到参考图像坐标的变换，即 x_ref = T·x_float。
二、刚体与非刚体变换
刚体变换只含旋转和平移，共 6 个自由度，保持距离与角度不变，适用于骨骼、头架固定下的颅脑等刚性结构。相似变换在刚体基础上增加各向同性缩放（7 自由度），用于校正不同设备的尺度差异。仿射变换允许各向异性缩放与剪切（12 自由度），可补偿部分形变。
非刚体变换用于描述软组织形变，常见模型包括：B 样条自由形变（FFD），通过控制点网格的位移场插值得到稠密形变，控制点间距决定形变尺度；薄板样条（TPS），由对应点驱动，适合稀疏标志点；以及稠密光流式位移场。非刚体自由度可达数千甚至数万，必须依靠正则项约束形变平滑，否则会出现不合理的折叠。
三、相似性测度
相似性测度衡量变换后两幅图像的匹配程度，是优化的目标函数。同一模态（如 CT-CT）常用均方误差 MSE 或归一化互相关 NCC；跨模态（如 CT-MR、CT-超声）灰度关系非线性，宜用互信息 MI 或归一化互信息 NMI，其定义为 MI(A,B)=H(A)+H(B)−H(A,B)，通过联合直方图估计。对术中超声等含大量噪声与伪影的数据，还可采用相关比、互信息与梯度项的组合。测度选择错误会直接导致优化收敛到错误极值。
四、插值方法
变换后浮动图像的采样点通常落在非整数网格上，需要插值。最近邻插值速度快但产生阶梯状灰度，不适合亚像素精度要求；线性插值在精度与速度间平衡，是常用默认；B 样条插值更平滑，适合高精度场景但计算量大。插值核的选择会影响相似性测度的光滑性，进而影响优化能否稳定收敛，尤其对互信息这类对灰度分布敏感的测度，插值方式必须与直方图估计方式匹配。
五、优化框架与配准问题形式化
配准可形式化为：给定参考图像 I_F 与浮动图像 I_M，求变换 T*，使
T* = argmin_T S( I_F, I_M ∘ T ) + λ·R(T)
其中 S 为相似性测度（越小越相似，或取负的相似度），
R(T) 为正则项（约束非刚体形变平滑），
λ 为权重，控制数据项与正则项的平衡。求解时，刚体配准常用梯度下降、Powell 法或 Levenberg-Marquardt；非刚体配准则多采用 L-BFGS 或随机梯度下降，并配合多分辨率金字塔：先在低分辨率下估计大尺度变换，再逐级细化，避免陷入局部极值。优化终止条件通常为参数增量小于阈值或达到最大迭代次数。
六、一个可复现的刚体配准示例
以颅脑 CT 与 MR 的刚体配准为例，说明上述要素如何协同。输入为同一患者术前的 CT（参考）与 MR（浮动），均已重定向到 LPS 物理坐标系。实现流程如下：
- 读取两幅图像的方向矩阵、体素间距与原点，将体素坐标转换为物理坐标。
- 初始化变换 T₀ 为单位矩阵（若已知大致位置，可用标志点粗配作为初值）。
- 构建多分辨率金字塔，层数设为 3，最低层降采样至约 1/8 分辨率。
- 在最低层以互信息为测度、Powell 法为优化器，迭代求解 6 个刚体参数。
- 将低层结果作为高层初值，逐层细化，插值方式统一采用线性插值。
- 终止条件：参数增量小于 1e-4 或达到 200 次迭代。
结果判读：可观察最终互信息值是否较初值明显提升、变换矩阵的旋转角是否在合理范围（如颅脑配准通常小于 15°）、以及将变换作用于 MR 后与 CT 的叠加图像中脑室、颅骨内板等结构是否对齐。若互信息提升有限或叠加出现明显错位，应检查初值、测度选择与插值方式是否匹配。