3、组合收益与风险：两资产组合的收益与方差公式推导，理解分散化效应

在投资组合理论中，两资产组合是最简单却最能揭示风险分散本质的分析单元。理解其收益与方差公式的数学推导，是后续扩展到多资产组合、有效前沿以及风险分解（如风险预算、边际风险贡献）的基石。本章将严格推导两资产组合的期望收益与方差公式，并通过数学变换与图形化方式，深入剖析“分散化效应”产生的根源——即资产间的协方差（或相关系数）如何影响组合的整体风险。

3.1 两资产组合的期望收益公式

假设投资者将资金按权重 \( w_1 \) 和 \( w_2 \) 分别配置于资产1和资产2，且 \( w_1 + w_2 = 1 \)。组合在某一时期的收益率 \( r_p \) 是两项资产收益率的线性加权平均：

r_p = w₁·r₁ + w₂·r₂

对上述表达式取数学期望，由于权重是确定性常数，期望算子具有线性性质，可直接得到组合的期望收益：

E(r_p) = w₁·E(r₁) + w₂·E(r₂)

这一公式表明：组合的期望收益是各资产期望收益的加权平均，权重即为资金配置比例。这里不存在任何“非线性”或“协同”效应——收益层面无法通过组合创造超额收益，组合收益只是成分收益的线性叠加。

3.2 两资产组合的方差公式推导

组合方差 \( \sigma_p^2 \) 定义为组合收益率偏离其期望值的平方的期望，即 \( \sigma_p^2 = E[(r_p - E(r_p))^2] \)。将 \( r_p = w_1 r_1 + w_2 r_2 \) 代入，并利用期望的线性性质展开：

σ_p² = E[ (w₁r₁ + w₂r₂ − w₁E(r₁) − w₂E(r₂))² ]
     = E[ (w₁(r₁−E(r₁)) + w₂(r₂−E(r₂)))² ]
     = E[ w₁²(r₁−E(r₁))² + w₂²(r₂−E(r₂))² + 2w₁w₂(r₁−E(r₁))(r₂−E(r₂)) ]
     = w₁²·E[(r₁−E(r₁))²] + w₂²·E[(r₂−E(r₂))²] + 2w₁w₂·E[(r₁−E(r₁))(r₂−E(r₂))]

根据方差的定义 \( \sigma_i^2 = E[(r_i - E(r_i))^2] \) 以及协方差的定义 \( \text{Cov}(r_1, r_2) = E[(r_1 - E(r_1))(r_2 - E(r_2))] \)，最终得到两资产组合方差公式：

σ_p² = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂·Cov(r₁,r₂)

若将协方差标准化为相关系数 \( \rho_{12} = \frac{\text{Cov}(r_1,r_2)}{\sigma_1 \sigma_2} \)，则公式可改写为：

σ_p² = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂·ρ₁₂·σ₁·σ₂

3.3 分散化效应的数学本质

为了直观理解分散化效应，我们考虑一个特例：假设 \( w_1 = w_2 = 0.5 \)，且 \( \sigma_1 = \sigma_2 = \sigma \)。此时组合方差为：

σ_p² = 0.25σ² + 0.25σ² + 2(0.5)(0.5)ρσ²
     = 0.5σ² + 0.5ρσ²
     = 0.5σ²(1 + ρ)

当 \( \rho = 1 \) 时，\( \sigma_p^2 = \sigma^2 \)，组合标准差等于单个资产标准差，分散化没有任何风险降低效果。当 \( \rho = 0 \) 时，\( \sigma_p^2 = 0.5\sigma^2 \)，组合标准差为 \( \sigma/\sqrt{2} \approx 0.707\sigma \)，风险降低了约29.3%。当 \( \rho = -1 \) 时，\( \sigma_p^2 = 0 \)，组合风险被完全消除。

3.4 案例拆解：股票与债券的经典配置

假设某投资者考虑将资金配置于两类资产：股票指数基金（资产1）和长期国债基金（资产2）。基于过去20年的历史数据，我们获得以下参数：

• 股票基金：年化期望收益 \( E(r_1) = 10\% \)，年化标准差 \( \sigma_1 = 18\% \)
• 债券基金：年化期望收益 \( E(r_2) = 5\% \)，年化标准差 \( \sigma_2 = 8\% \)
• 两者相关系数 \( \rho_{12} = 0.15 \)（股票与债券通常呈低正相关）

我们比较三种配置方案：

以方案B为例，组合方差计算过程如下：

σ_p² = (0.5)²(0.18)² + (0.5)²(0.08)² + 2(0.5)(0.5)(0.15)(0.18)(0.08)
     = 0.25(0.0324) + 0.25(0.0064) + 0.5(0.00216)
     = 0.0081 + 0.0016 + 0.00108
     = 0.01078
σ_p = √0.01078 = 0.1038 ≈ 10.38%

而两资产标准差的加权平均为 \( 0.5 \times 18\% + 0.5 \times 8\% = 13\% \)。组合标准差10.38%显著低于13%，这就是分散化带来的风险节约。方案C虽然收益更低，但每单位风险所获得的收益补偿（夏普比率）反而更高，体现了风险调整后收益的改善。

3.5 最小方差组合与权重求解

在给定两资产的方差-协方差结构下，我们可以通过求解一阶导数条件找到使组合方差最小的权重配置。对 \( \sigma_p^2 \) 关于 \( w_1 \) 求导（利用 \( w_2 = 1 - w_1 \)），并令导数为零：

∂σ_p²/∂w₁ = 2w₁σ₁² − 2(1−w₁)σ₂² + 2(1−2w₁)Cov(r₁,r₂) = 0

解得最小方差权重：

w₁* = (σ₂² − Cov(r₁,r₂)) / (σ₁² + σ₂² − 2Cov(r₁,r₂))

代入上述案例数据：

w₁* = (0.0064 − 0.00216) / (0.0324 + 0.0064 − 2×0.00216)
     = 0.00424 / 0.03448
     = 0.1230

即股票权重约为12.3%，债券权重约为87.7%时，组合方差达到最小。此时组合标准差约为7.63%，远低于任一单一资产的风险水平。

3.6 常见误区与总结复盘

在两资产组合的学习中，以下几个误区需要特别警惕：

1. 误以为组合风险等于加权平均风险：只有在相关系数 \( \rho = 1 \) 时这一等式才成立。实际中绝大多数资产间相关系数小于1，因此组合风险总是低于加权平均。
2. 忽视协方差项的符号：当资产间呈负相关时，协方差项为负，可以大幅降低组合风险；但负相关资产在市场中较为稀缺，且可能随市场环境变化而改变。
3. 混淆协方差与相关系数：协方差受量纲影响，难以直接比较；相关系数标准化到[-1,1]区间，更适合衡量资产间关联强度。
4. 忽略权重约束：实际投资中可能面临做空限制、持仓集中度限制等，这些约束会改变可行集形状，最小方差组合可能不可达。

总结而言，两资产组合的方差公式 \( \sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2 \) 揭示了风险分散的三个层次：第一，自身方差项（前两项）是不可避免的“个体风险”；第二，协方差项是可控的“交互风险”；第三，通过调整权重 \( w_1, w_2 \)，投资者可以在给定资产条件下找到最优的风险-收益平衡点。这一框架为后续多资产组合的风险分解（如边际风险贡献、风险预算）奠定了数学基础。